वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
विश्वविद्यालय की जनसंख्या के समान अनुपात में प्रथम, द्वितीय और तृतीय वर्ष के छात्रों वाला प्रतिदर्श पाने के लिए शोधकर्ता को किसका उपयोग करना चाहिए?
- Aअवसर प्रतिचयन
- Bस्तरीकृत प्रतिचयन
- Cस्वयंसेवी प्रतिचयन
- Dस्नोबॉल प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
किसी अध्ययन में प्रतिदर्श का आकार बढ़ाने से सबसे सीधे क्या होता है?
- Aप्रभाव का आकार बढ़ता है
- Bप्रतिदर्श से हर पक्षपात हट जाता है
- Cवास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
- Dयदि कोई प्रभाव मौजूद हो तो सांख्यिकीय रूप से सार्थक परिणाम की गारंटी मिलती है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 38, 22, 32, 21, 32, 42, 24।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 58 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 50σ = 8x = 58
z =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.1, 0.05, 0.3, 0.25
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.2, 0.05, 0.25, 0.15Y = 5X + 4
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0256 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.0256
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 20% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
μ = 100 अंकσ = 15 अंक20%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
20 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 10.5 और मानक विचलन s = 5.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n = 20x̄ = 10.5s = 5.590%t(19) = 1.729
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.8 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.02 हो?
p ≈ 0.8E = 0.0299%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 500 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 12 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 501.41 है। H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ ≠ 500 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 500σ = 12n = 64x̄ = 501.41H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
64 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 500.4 है। समष्टि मानक विचलन 4 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।
x̄ = 500.4σ = 4n = 6495%
L =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5Σx = 25Σy = 363Σx² = 165Σy² = 27971Σxy = 2069
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 6x = 3.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 2202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।
N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · स्तरीकृत प्रतिचयन
यह उत्तर क्यों है
स्तरीकृत प्रतिचयन उपसमूहों (स्तरों) की पहचान करता है और हर एक से जनसंख्या में उसके आकार के अनुपात में यादृच्छिक प्रतिदर्श लेता है, जिससे प्रतिदर्श अधिक प्रतिनिधि बनता है।
उत्तर
B · स्तरीकृत प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: C · वास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
यह उत्तर क्यों है
बड़े प्रतिदर्श मानक त्रुटि घटाकर शक्ति बढ़ाते हैं। वे वास्तविक प्रभाव-आकार नहीं बदलते और व्यवस्थित पक्षपात नहीं हटाते।
उत्तर
C · वास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 8.133
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 211/7 = 30.14
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 7.857² + (−8.143)² + 1.857² + (−9.143)² + 1.857² + 11.86² + (−6.143)² = 396.9
मानक विचलन
s = √(396.9/6) = 8.133
उत्तर
s = 8.133
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = 1
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (58 − 50)/8 = 1
उत्तर
z = 1
5.प्रायिकता
उत्तर: Var(X) = 2.59
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.25 = 3.1
वर्गों का माध्य
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.25 = 12.2
प्रसरण
Var(X) = 12.2 − 3.1² = 2.59
उत्तर
Var(X) = 2.59
6.प्रायिकता
उत्तर: σY = 7.628
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 2.65, Var(X) = 2.327, σX = 1.526
रैखिक परिवर्तन
σY = |5|·1.526 = 7.628
उत्तर
σY = 7.628
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·2.65 + 4 = 17.25।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 1.95
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.0256 = 0.9744
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.9744 खोजें और z पढ़ें।
z = 1.95
उत्तर
z = 1.95
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 112.6 अंक
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 0.8
सारणी से z
z ≈ 0.84
मूल इकाइयों में वापस
x = 100 + 0.84·15 = 112.6 अंक
उत्तर
x = 112.6 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 2.126
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 19, t = 1.729
त्रुटि सीमा
E = 1.729·5.5/√20 = 2.126
उत्तर
E = 2.126
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 2655
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n ज्ञात करें
n = 2.576²·0.8·0.2/0.02² = 2654
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 2655
उत्तर
n = 2655
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.3472
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 12/√64 = 1.5
z = (501.41 − 500)/1.5 = 0.94
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(0.94) = 0.8264
1 − Φ(0.94) = 0.1736
p-मान
p = 2·0.1736 = 0.3472
उत्तर
p = 0.3472
p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: L = 499.4
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.96·4/√64 = 0.98
अंतराल सीमा
L = 500.4 − 0.98 = 499.4
उत्तर
L = 499.4
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9987
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 2069 − 25·363/5 = 254
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 27971 − 363²/5 = 1617
सहसंबंध गुणांक
r = 254/√(40·1617) = 0.9987
उत्तर
r = 0.9987
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 56.3
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 375/6 = 62.5
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108.5
समाश्रयण रेखा
b = 108.5/17.5 = 6.2
a = 62.5 − 6.2·4.5 = 34.6
ŷ = 34.6 + 6.2·x
पूर्वानुमान
ŷ = 34.6 + 6.2·3.5 = 56.3
उत्तर
ŷ = 56.3
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 15.41
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
छात्र: 120·44/220 = 24, 120·66/220 = 36, 120·110/220 = 60
कर्मचारी: 100·44/220 = 20, 100·66/220 = 30, 100·110/220 = 50
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (27 − 24)²/24 + (47 − 36)²/36 + (46 − 60)²/60 + (17 − 20)²/20 + (19 − 30)²/30 + (64 − 50)²/50
χ² = 15.41
उत्तर
χ² = 15.41
df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 1.227
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
लाइन 1: 40, 40
लाइन 2: 50, 50
लाइन 3: 30, 30
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (36 − 40)²/40 + (44 − 40)²/40 + (53 − 50)²/50 + (47 − 50)²/50 + (31 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30
χ² = 1.227
निर्णय
df = 2, χ²crit = 5.991
1.227 < 5.991
उत्तर
χ² = 1.227
χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।
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