मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रकार I त्रुटि तब होती है जब शोधकर्ता:

  1. Aगलत सांख्यिकीय परीक्षण का उपयोग करता है
  2. Bबहुत अधिक डेटा एकत्र करता है
  3. Cऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है
  4. Dअसत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

Milgram के आज्ञापालन अध्ययनों में प्रतिभागियों को विश्वास था कि वे वास्तविक बिजली के झटके दे रहे हैं। कौन-सा नैतिक मुद्दा सबसे सीधे उठता है, और उसका आंशिक समाधान कैसे किया गया?

  1. Aछल और संभावित व्यथा, जिसका समाधान विस्तृत डीब्रीफ़िंग से किया गया
  2. Bगोपनीयता की कमी, जिसका समाधान नाम प्रकाशित करके किया गया
  3. Cबच्चों का उपयोग, जिसका समाधान माता-पिता की सहमति से किया गया
  4. Dनियंत्रण समूह की कमी, जिसका समाधान प्रतिभागियों को स्थितियों में यादृच्छिक रूप से आवंटित करके किया गया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 53, 23, 38, 52, 35।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 54 से अधिक है?

μ = 50σ = 10x = 54
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 10, p = 0.25: P(X = 5) = ?k012345678910

एक परीक्षा में 10 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.25 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 5 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 10p = 0.25k = 5
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
174.5181.85P = ?

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 174.5 और 181.85 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x1 = 174.5x2 = 181.85
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 178x = ?5%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 5% आते हैं (5वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 12, s = 9.5L = ?Ux̄ = 97E90%

12 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 97 और मानक विचलन s = 9.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 12x̄ = 97s = 9.590%t(11) = 1.796
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 19, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

समष्टि मानक विचलन 19 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?

σ = 19E = 290%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1452.145t = ?df = 14

15 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −7.05 और अंतरों का मानक विचलन 9.1 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 15d̄ = −7.05sd = 9.1
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.05βσ = 16, शक्ति 95%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 95% शक्ति के साथ माध्य में 2.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 16 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 95%δ = 2.5σ = 16zα = 1.645zβ = 1.645
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy17571962217223882599xy20256080100

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy126224323418520614xy246152025x = 1.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 1.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट10201040रात की शिफ़्ट184339100कुल286349140

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1402 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुलसंयंत्र A501060संयंत्र B562480संयंत्र C441660कुल15050200dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · ऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है

यह उत्तर क्यों है

प्रकार I त्रुटि ऐसे प्रभाव का दावा करती है जो मौजूद नहीं है। इसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर (प्रायः 0.05) के बराबर होती है। प्रकार II त्रुटि वास्तविक प्रभाव को चूक जाती है।

उत्तर

C · ऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · छल और संभावित व्यथा, जिसका समाधान विस्तृत डीब्रीफ़िंग से किया गया

यह उत्तर क्यों है

प्रतिभागियों को झटकों के बारे में धोखा दिया गया और कई ने बहुत तनाव दिखाया। Milgram ने प्रतिभागियों की डीब्रीफ़िंग की और उन्हें "शिक्षार्थी" से मिलवाया; अनुवर्ती अध्ययन में अधिकांश ने भाग लेने पर ख़ुशी जताई, पर नैतिकता पर बहस अब भी जारी है।

उत्तर

A · छल और संभावित व्यथा, जिसका समाधान विस्तृत डीब्रीफ़िंग से किया गया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.56

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 201/5 = 40.2

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 12.8² + (−17.2)² + (−2.2)² + 11.8² + (−5.2)² = 630.8

मानक विचलन

s = √(630.8/4) = 12.56

उत्तर

s = 12.56
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.3446

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446

उत्तर

P = 0.3446
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.0584

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 5) = 252·0.255·0.755 = 252·0.0009766·0.2373 = 0.0584

उत्तर

P = 0.0584
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.4003

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (174.5 − 178)/7 = −0.5
z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.55) − Φ(−0.5) = 0.7088 − 0.3085 = 0.4003

उत्तर

P = 0.4003
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 166.5 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

वापस x पर

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

उत्तर

x = 166.49 cm
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 92.07

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 11, t = 1.796

त्रुटि सीमा

E = 1.796·9.5/√12 = 4.925

अंतराल

97 ± 4.925 → [92.07, 101.9]

उत्तर

निचली सीमा = 92.07
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 245

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·19/2)² = 244.2

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 245

उत्तर

n = 245
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −3

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 9.1/√15 = 2.35

परीक्षण सांख्यिकी

t = −7.05/2.35 = −3

उत्तर

t = −3

df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 444

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 1.645)·16/2.5)² = 443.4

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 444

उत्तर

n = 444
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9858

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 378/5 = 75.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1245

सहसंबंध गुणांक

r = 220/√(40·1245) = 0.9858

उत्तर

r = 0.9858
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 25.23

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 125/6 = 20.83

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38.5

समाश्रयण रेखा

b = −38.5/17.5 = −2.2
a = 20.83 − (−2.2)·3.5 = 28.53
ŷ = 28.53 − 2.2·x

पूर्वानुमान

ŷ = 28.53 + (−2.2)·1.5 = 25.23

उत्तर

ŷ = 25.23
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.611

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 40·28/140 = 8, 40·63/140 = 18, 40·49/140 = 14
रात की शिफ़्ट: 100·28/140 = 20, 100·63/140 = 45, 100·49/140 = 35

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (10 − 8)²/8 + (20 − 18)²/18 + (10 − 14)²/14 + (18 − 20)²/20 + (43 − 45)²/45 + (39 − 35)²/35
χ² = 2.611

उत्तर

χ² = 2.611

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 3.378

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

संयंत्र A: 45, 15
संयंत्र B: 60, 20
संयंत्र C: 45, 15

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (50 − 45)²/45 + (10 − 15)²/15 + (56 − 60)²/60 + (24 − 20)²/20 + (44 − 45)²/45 + (16 − 15)²/15
χ² = 3.378

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
3.378 < 5.991

उत्तर

χ² = 3.378

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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