मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रयोग में मानकीकृत निर्देशों का उपयोग क्यों किया जाता है?

  1. Aताकि परिणाम सांख्यिकीय रूप से सार्थक हो जाएँ
  2. Bशोधकर्ता प्रक्रिया को हर प्रतिभागी की आवश्यकताओं के अनुसार ढाल सकता है
  3. Cताकि प्रतिभागी अपनी स्थितियाँ स्वयं चुन सकें
  4. Dताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

कौन-सा अप्राचलिक परीक्षण दो संबंधित प्रतिदर्शों की तुलना करता है, जैसे क्रमसूचक पैमाने पर पहले और बाद के अंक?

  1. Aस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
  2. Bविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
  3. Cस्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण
  4. Dमान-व्हिटनी U परीक्षण
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
15202530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 50, 49, 60, 14, 49, 40।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 68.75 से कम है?

μ = 50σ = 15x = 68.75
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 6, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k0123456

6 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.6
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
490574P = ?

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 490 और 574 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 574
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
4 s0X − Y?

धावक A का चक्कर समय X और धावक B का चक्कर समय Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 52 s और मानक विचलन 4 s है, Y का माध्य 48 s और मानक विचलन 3 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 1.599%, n = 36x̄E₂ = ?90%, n = 72

ज्ञात σ और 36 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 1.5 है। 72 प्रेक्षणों पर आधारित 90% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 36E₁ = 1.590%n₂ = 72
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 21Lσ = ?s = 11.695%

21 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 11.6 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 20 के साथ χ² बंटन का 2.5% 9.591 से नीचे और 2.5% 34.17 से ऊपर है।

n = 21s = 11.6 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.22p = ?

एक समष्टि का माध्य 80 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 32 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 71.12 है। H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ < 80 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80σ = 32n = 64x̄ = 71.12H₁: μ < μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
−1.961.96z = ?

एक परीक्षण में उपचार A वाले 150 में से 75 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 80 में से 34 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 34n₂ = 80
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy23743964985710671281xy510406080

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 42Σy = 330Σx² = 364Σy² = 19590Σxy = 2622
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy1443465557559671173xy510506070ŷ = 58

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 58 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 58
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष5961120महिलाएँ491160कुल10872180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

2 पंक्तियों और 5 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

2 × 5
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · ताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले

यह उत्तर क्यों है

मानकीकरण प्रक्रिया में भिन्नता को एक बाह्य चर के रूप में हटाता है और अध्ययन को दोहराने योग्य बनाता है।

उत्तर

D · ताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण युग्मित क्रमसूचक आँकड़ों के लिए है; मान-व्हिटनी U स्वतंत्र समूहों के लिए उसका समकक्ष है।

उत्तर

B · विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.86

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 262/6 = 43.67

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 6.333² + 5.333² + 16.33² + (−29.67)² + 5.333² + (−3.667)² = 1257

मानक विचलन

s = √(1257/5) = 15.86

उत्तर

s = 15.86
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8944

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1.25

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944

उत्तर

P = 0.8944
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.04096

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.46 = 0.004096
P(X = 1) = 6·0.6·0.45 = 0.03686

जोड़ें

P = 0.004096 + 0.03686 = 0.04096

उत्तर

P = 0.04096
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.5665

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25
z₂ = (574 − 500)/40 = 1.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.85) − Φ(−0.25) = 0.9678 − 0.4013 = 0.5665

उत्तर

P = 0.5665
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

मानकीकृत करें

z = (0 − 4)/5 = −0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 0.6773

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(36/72) = 0.4515

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 1.5·0.4515 = 0.6773

उत्तर

E₂ = 0.6773
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 16.75 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 20·11.6² = 2691

σ² की सीमाएँ

2691/34.17 = 78.76
2691/9.591 = 280.6

σ की सीमा

σ = √280.6 = 16.75 µm

उत्तर

σ = 16.75 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [8.875, 16.75] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.01321

परिकल्पना परीक्षण: परीक्षण प्रतिदर्शज = (अनुमान − H₀ के अंतर्गत मान)/(H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि)। p-मान वह प्रायिकता है, H₀ को सत्य मानते हुए, कि प्रतिदर्शज कम से कम प्रेक्षित जितना चरम हो: एकपक्षीय H₁ के लिए एक पुच्छ का क्षेत्रफल, द्विपक्षीय H₁ के लिए पुच्छ क्षेत्रफल का दोगुना। p ≤ α होने पर H₀ अस्वीकार करें।

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 32/√64 = 4
z = (71.12 − 80)/4 = −2.22

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(2.22) = 0.9868
1 − Φ(2.22) = 0.0132

p-मान

p = 0.01321

उत्तर

p = 0.01321

p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 1.085

परिकल्पना परीक्षण: परीक्षण प्रतिदर्शज = (अनुमान − H₀ के अंतर्गत मान)/(H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि)। p-मान वह प्रायिकता है, H₀ को सत्य मानते हुए, कि प्रतिदर्शज कम से कम प्रेक्षित जितना चरम हो: एकपक्षीय H₁ के लिए एक पुच्छ का क्षेत्रफल, द्विपक्षीय H₁ के लिए पुच्छ क्षेत्रफल का दोगुना। p ≤ α होने पर H₀ अस्वीकार करें।

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 75/150 = 0.5
p̂₂ = 34/80 = 0.425
p̂ = 109/230 = 0.4739

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.4739·0.5261·(1/150 + 1/80)) = 0.06913

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.5 − 0.425)/0.06913 = 1.085

उत्तर

z = 1.085

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9827

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 2622 − 42·330/6 = 312
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 19590 − 330²/6 = 1440

सहसंबंध गुणांक

r = 312/√(70·1440) = 0.9827

उत्तर

r = 0.9827
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 6.449

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 340/6 = 56.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

समाश्रयण रेखा

b = 208/70 = 2.971
a = 56.67 − 2.971·6 = 38.84
ŷ = 38.84 + 2.971·x

x के लिए हल करें

x = (58 − 38.84)/2.971 = 6.449

उत्तर

x = 6.449
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 17.6

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 120·108/180 = 72, 120·72/180 = 48
महिलाएँ: 60·108/180 = 36, 60·72/180 = 24

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (59 − 72)²/72 + (61 − 48)²/48 + (49 − 36)²/36 + (11 − 24)²/24
χ² = 17.6

उत्तर

χ² = 17.6

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 4

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

उत्तर

df = 4

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