मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रयोग में मानकीकृत निर्देशों का उपयोग क्यों किया जाता है?

  1. Aताकि परिणाम सांख्यिकीय रूप से सार्थक हो जाएँ
  2. Bशोधकर्ता प्रक्रिया को हर प्रतिभागी की आवश्यकताओं के अनुसार ढाल सकता है
  3. Cताकि प्रतिभागी अपनी स्थितियाँ स्वयं चुन सकें
  4. Dताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता पाँच t-परीक्षण करता है और बोनफ़ेरोनी संशोधन से कुल प्रकार I त्रुटि दर 0.05 रखना चाहता है। हर परीक्षण को कौन-सा सार्थकता स्तर उपयोग करना चाहिए?

  1. A0.01
  2. B0.025
  3. C0.05
  4. D0.25
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 48, 18, 26, 59, 38, 12, 30।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 65 से कम है?

μ = 50σ = 10x = 65
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.320.1530.2μ = 1.2

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.2
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
n = 12, p = 0.7: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

12 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.7
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
425 kg451.8 kgT = X₁ + … + X₅?

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 5 का कुल द्रव्यमान 451.8 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 451.8 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.03 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.03 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 13, s = 9LU = ?x̄ = 91E99%

13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 91 और मानक विचलन s = 9 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 13x̄ = 91s = 999%t(12) = 3.055
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(19) = 1.7290L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 11 प्लॉट, माध्य उपज 99 kg, मानक विचलन 9.5 kg। प्लॉट समूह 2: 10 प्लॉट, माध्य 106 kg, मानक विचलन 5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 11x̄₁ = 99s₁ = 9.5n₂ = 10x̄₂ = 106s₂ = 590%t(19) = 1.729
निचली सीमा = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1452.145t = ?df = 14

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 9 छात्र, माध्य अंक 71.5, मानक विचलन 11। समूह 2: 7 छात्र, माध्य अंक 65.9, मानक विचलन 6.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 9x̄₁ = 71.5s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 65.9s₂ = 6.5
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.64501.645

25 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 75.2 है। समष्टि मानक विचलन 8 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 75.2σ = 8n = 2590%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy127223321420519615xy246152025

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy37358879591111111913136xy51080100120140x = 6

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (6, 95) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(6, 95)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र253659120कर्मचारी1145460कुल368163180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 9 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · ताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले

यह उत्तर क्यों है

मानकीकरण प्रक्रिया में भिन्नता को एक बाह्य चर के रूप में हटाता है और अध्ययन को दोहराने योग्य बनाता है।

उत्तर

D · ताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · 0.01

यह उत्तर क्यों है

बोनफ़ेरोनी संशोधन α को तुलनाओं की संख्या से भाग देता है: 0.05 / 5 = 0.01। यह सरल है पर रूढ़िवादी (conservative), जिससे प्रकार II त्रुटियों का जोखिम बढ़ता है।

उत्तर

A · 0.01
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.58

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 231/7 = 33

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 15² + (−15)² + (−7)² + 26² + 5² + (−21)² + (−3)² = 1650

मानक विचलन

s = √(1650/6) = 16.58

उत्तर

s = 16.58
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9332

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.26

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.2 = 1.2

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.2 = 2.7

प्रसरण

Var(X) = 2.7 − 1.2² = 1.26

उत्तर

Var(X) = 1.26
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 1.541 × 10⁻⁵

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.312 = 5.314 × 10⁻⁷
P(X = 1) = 12·0.7·0.311 = 1.488 × 10⁻⁵

जोड़ें

P = 5.314 × 10⁻⁷ + 1.488 × 10⁻⁵ = 1.541 × 10⁻⁵

उत्तर

P = 1.541 × 10⁻⁵
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1587

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26.83 kg

मानकीकृत करें

z = (451.8 − 425)/26.83 = 1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.983

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983

उत्तर

P = 0.983
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 98.63

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 12, t = 3.055

त्रुटि सीमा

E = 3.055·9/√13 = 7.626

अंतराल

91 ± 7.626 → [83.37, 98.63]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 98.63
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −12.82 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (10·9.5² + 9·5²)/19 = 59.34
sp = 7.703

त्रुटि सीमा

E = 1.729·7.703·√(1/11 + 1/10) = 5.82

अंतराल

−7 ± 5.82 → [−12.82, −1.18]

उत्तर

निचली सीमा = −12.82 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.19

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (8·11² + 6·6.5²)/14 = 87.25
sp = 9.341

मानक त्रुटि

SE = 9.341·√(1/9 + 1/7) = 4.707

परीक्षण सांख्यिकी

t = (71.5 − 65.9)/4.707 = 1.19

उत्तर

t = 1.19

df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 77.83

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·8/√25 = 2.632

अंतराल सीमा

U = 75.2 + 2.632 = 77.83

उत्तर

U = 77.83
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9705

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 125/6 = 20.83

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 80.83

सहसंबंध गुणांक

r = −36.5/√(17.5·80.83) = −0.9705

उत्तर

r = −0.9705
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 3.448

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 622/6 = 103.7

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 424

समाश्रयण रेखा

b = 424/70 = 6.057
a = 103.7 − 6.057·8 = 55.21
ŷ = 55.21 + 6.057·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 55.21 + 6.057·6 = 91.55

अवशिष्ट

e = 95 − 91.55 = 3.448

उत्तर

e = 3.448

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 38.77

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 120·36/180 = 24, 120·81/180 = 54, 120·63/180 = 42
कर्मचारी: 60·36/180 = 12, 60·81/180 = 27, 60·63/180 = 21

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (25 − 24)²/24 + (36 − 54)²/54 + (59 − 42)²/42 + (11 − 12)²/12 + (45 − 27)²/27 + (4 − 21)²/21
χ² = 38.77

उत्तर

χ² = 38.77

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 14.07

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 9 − 1 − 1 = 7

तालिका

χ²crit(df = 7, α = 0.05) = 14.067

उत्तर

χ²crit = 14.067

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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