मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

वही 25 प्रतिभागी कैफ़ीन से पहले और बाद में स्मृति परीक्षण देते हैं। अंक अंतराल स्तर के और लगभग सामान्य हैं। कौन-सा परीक्षण उपयुक्त है?

  1. Aकाई-वर्ग परीक्षण
  2. Bस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
  3. Cमान–व्हिटनी U परीक्षण
  4. Dयुग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक मेटा-विश्लेषण किसी चिकित्सा के 40 अध्ययनों को जोड़ता है। उसका कुल प्रभाव-आकार फिर भी बहुत बड़ा क्यों हो सकता है?

  1. Aमेटा-विश्लेषण यादृच्छिक परीक्षणों को शामिल नहीं कर सकते
  2. Bअध्ययनों को जोड़ने से हमेशा सारा पक्षपात हट जाता है
  3. Cमेटा-विश्लेषण हमेशा अपने में शामिल एकल अध्ययनों से छोटे प्रभाव देते हैं
  4. Dप्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 32, 22, 48, 38, 27।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 550 से कम है?

μ = 500σ = 40x = 550
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.1510.320.230.0540.3μ = 2.05

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.05, 0.3
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 5, p = 0.5: P(X = 4) = ?k012345

एक परीक्षा में 5 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.5k = 4
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
470560P = ?

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 470 और 560 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x1 = 470x2 = 560
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
235240245250255260265gनीचे 90%

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 90% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 9, s = 5LU = ?x̄ = 81.5E99%

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 81.5 और मानक विचलन s = 5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 81.5s = 599%t(8) = 3.355
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0195%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.01 हो?

p = 0.5E = 0.0195%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.98401.984

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 123.5 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 123.5s = 12n = 100
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2α = 0.05βσ = 22, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 2 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 22 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 80%δ = 2σ = 22zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy354453560664769871xy4686070

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 33Σy = 371Σx² = 199Σy² = 23223Σxy = 2109
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2444586688781087xy5106080ŷ = 62

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 62 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 62
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
खाँसीखाँसी नहींकुलधूम्रपान करने वाले7228100धूम्रपान न करने वाले261440कुल9842140

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1402 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुलआयु 18–30651580आयु 31–50382260आयु 51+372360कुल14060200dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · युग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

युग्मित t-परीक्षण हर व्यक्ति के भीतर अंतरों का उपयोग करके, दो स्थितियों में एक ही प्रतिभागियों के माध्यों की तुलना करता है।

उत्तर

D · युग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं

यह उत्तर क्यों है

यदि शून्य परिणाम कम प्रकाशित होते हैं, तो संयुक्त प्रभाव बढ़ा हुआ होता है। फ़नल प्लॉट और अप्रकाशित आँकड़ों की खोज इसका पता लगाने और इसे घटाने में मदद करते हैं।

उत्तर

D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 10.09

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 167/5 = 33.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.4)² + (−11.4)² + 14.6² + 4.6² + (−6.4)² = 407.2

मानक विचलन

s = √(407.2/4) = 10.09

उत्तर

s = 10.09
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8944

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1.25

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944

उत्तर

P = 0.8944
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.465

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.05 + 4·0.3 = 2.05

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.05 + 16·0.3 = 6.35

प्रसरण

Var(X) = 6.35 − 2.05² = 2.147
σ = √2.147 = 1.465

उत्तर

σ = 1.465
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1563

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 5·0.54·0.51 = 5·0.0625·0.5 = 0.1563

उत्तर

P = 0.1563
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7066

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (470 − 500)/40 = −0.75
z₂ = (560 − 500)/40 = 1.5

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.5) − Φ(−0.75) = 0.9332 − 0.2266 = 0.7066

उत्तर

P = 0.7066
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 256.4 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.9

सारणी से z

z ≈ 1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

उत्तर

x = 256.4 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 87.09

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 3.355

त्रुटि सीमा

E = 3.355·5/√9 = 5.592

अंतराल

81.5 ± 5.592 → [75.91, 87.09]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 87.09
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 9604

उत्तर

n = 9604
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.917

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

परीक्षण सांख्यिकी

t = (123.5 − 120)/1.2 = 2.917

उत्तर

t = 2.917
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| > 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 749

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 0.842)·22/2)² = 748.4

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 749

उत्तर

n = 749
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9737

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 2109 − 33·371/6 = 68.5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 23223 − 371²/6 = 282.8

सहसंबंध गुणांक

r = 68.5/√(17.5·282.8) = 0.9737

उत्तर

r = 0.9737
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 5.057

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 335/5 = 67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

समाश्रयण रेखा

b = 212/40 = 5.3
a = 67 − 5.3·6 = 35.2
ŷ = 35.2 + 5.3·x

x के लिए हल करें

x = (62 − 35.2)/5.3 = 5.057

उत्तर

x = 5.057
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.6667

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 100·98/140 = 70, 100·42/140 = 30
धूम्रपान न करने वाले: 40·98/140 = 28, 40·42/140 = 12

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (72 − 70)²/70 + (28 − 30)²/30 + (26 − 28)²/28 + (14 − 12)²/12
χ² = 0.6667

उत्तर

χ² = 0.6667

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 8.075

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 56, 24
आयु 31–50: 42, 18
आयु 51+: 42, 18

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (65 − 56)²/56 + (15 − 24)²/24 + (38 − 42)²/42 + (22 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (23 − 18)²/18
χ² = 8.075

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
8.075 > 5.991

उत्तर

χ² = 8.075

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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