मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

विषयवस्तु विश्लेषण में अंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता कैसे जाँची जाती है?

  1. Aबाद में प्रतिभागियों से पूछकर कि उनकी सामग्री की शोधकर्ता की कोडिंग सही है या नहीं
  2. Bदो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके
  3. Cसामग्री को एक ही दिन में दो बार कोड करके
  4. Dसामग्री का बड़ा प्रतिदर्श लेकर
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक मेटा-विश्लेषण किसी चिकित्सा के 40 अध्ययनों को जोड़ता है। उसका कुल प्रभाव-आकार फिर भी बहुत बड़ा क्यों हो सकता है?

  1. Aअध्ययनों को जोड़ने से हमेशा सारा पक्षपात हट जाता है
  2. Bमेटा-विश्लेषण हमेशा अपने में शामिल एकल अध्ययनों से छोटे प्रभाव देते हैं
  3. Cमेटा-विश्लेषण यादृच्छिक परीक्षणों को शामिल नहीं कर सकते
  4. Dप्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
30354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 41, 37, 47, 26, 26, 26।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 50 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 530 से अधिक है?

μ = 500σ = 50x = 530
P =
5.प्रायिकतामध्यम
n = 14k = 4N = ?

14 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 14k = 4
N =
6.प्रायिकताकठिन
n = 5, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k012345

5 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.6
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
420510P = ?

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 420 और 510 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x1 = 420x2 = 510
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
157164171178185192199cmऊपर 70%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 70% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm70%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 11, s = 14L = ?Ux̄ = 93E95%

11 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 93 और मानक विचलन s = 14 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 11x̄ = 93s = 1495%t(10) = 2.228
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

समष्टि मानक विचलन 11 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 4 हो?

σ = 11E = 499%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1p = ?

एक समष्टि का माध्य 500 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 40 ज्ञात है। 100 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 496 है। H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ < 500 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 500σ = 40n = 100x̄ = 496H₁: μ < μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ < 50 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 36 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 3 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 49.15 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50μ = 49.15σ = 3n = 36α = 0.10
β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy24456108121017xy51051015

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 30Σy = 48Σx² = 220Σy² = 574Σxy = 354
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy1810120118221322414026153xy2025100120140x = 23

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 23 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 23
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
निम्नमध्यमउच्चकुलशहरी202852100ग्रामीण463836120कुल666688220

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

3 पंक्तियों और 3 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

3 × 3
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · दो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके

यह उत्तर क्यों है

यदि स्वतंत्र कोडर एक ही आँकड़ों के लिए समान कोड देते हैं (उच्च सहमति या सहसंबंध), तो कोडिंग योजना विश्वसनीय है।

उत्तर

B · दो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं

यह उत्तर क्यों है

यदि शून्य परिणाम कम प्रकाशित होते हैं, तो संयुक्त प्रभाव बढ़ा हुआ होता है। फ़नल प्लॉट और अप्रकाशित आँकड़ों की खोज इसका पता लगाने और इसे घटाने में मदद करते हैं।

उत्तर

D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 9.152

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 203/6 = 33.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 7.167² + 3.167² + 13.17² + (−7.833)² + (−7.833)² + (−7.833)² = 418.8

मानक विचलन

s = √(418.8/5) = 9.152

उत्तर

s = 9.152
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.2743

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.6

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

उत्तर

P = 0.2743
5.प्रायिकता

उत्तर: N = 1001

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

उत्तर

N = 1001
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.08704

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.45 = 0.01024
P(X = 1) = 5·0.6·0.44 = 0.0768

जोड़ें

P = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704

उत्तर

P = 0.08704
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.576

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (420 − 500)/40 = −2
z₂ = (510 − 500)/40 = 0.25

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.25) − Φ(−2) = 0.5987 − 0.02275 = 0.576

उत्तर

P = 0.576
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 174.4 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.3

सारणी से z

z ≈ −0.52

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm

उत्तर

x = 174.4 cm
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 83.6

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 10, t = 2.228

त्रुटि सीमा

E = 2.228·14/√11 = 9.405

अंतराल

93 ± 9.405 → [83.6, 102.4]

उत्तर

निचली सीमा = 83.6
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 51

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·11/4)² = 50.18

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 51

उत्तर

n = 51
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.1587

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (496 − 500)/4 = −1

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1) = 0.8413
1 − Φ(1) = 0.1587

p-मान

p = 0.1587

उत्तर

p = 0.1587

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 33.8 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 3/√36 = 0.5
x̄c = 50 − 1.282·0.5 = 49.36

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (49.36 − 49.15)/0.5 = 0.418

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z < 0.418) = 66.2%
β = 100% − 66.2% = 33.8%

उत्तर

β = 33.8%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9808

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 354 − 30·48/5 = 66
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 574 − 48²/5 = 113.2

सहसंबंध गुणांक

r = 66/√(40·113.2) = 0.9808

उत्तर

r = 0.9808
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 135.1

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 644/5 = 128.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252

समाश्रयण रेखा

b = 252/40 = 6.3
a = 128.8 − 6.3·22 = −9.8
ŷ = −9.8 + 6.3·x

पूर्वानुमान

ŷ = −9.8 + 6.3·23 = 135.1

उत्तर

ŷ = 135.1
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 12.96

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

शहरी: 100·66/220 = 30, 100·66/220 = 30, 100·88/220 = 40
ग्रामीण: 120·66/220 = 36, 120·66/220 = 36, 120·88/220 = 48

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (20 − 30)²/30 + (28 − 30)²/30 + (52 − 40)²/40 + (46 − 36)²/36 + (38 − 36)²/36 + (36 − 48)²/48
χ² = 12.96

उत्तर

χ² = 12.96

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 4

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

उत्तर

df = 4

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