मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

केवल अमेरिकी स्नातक छात्रों के साथ किए गए अध्ययन में किसकी कमी हो सकती है?

  1. Aआंतरिक संगति
  2. Bजनसंख्या वैधता (population validity)
  3. Cअंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता
  4. Dविषयवस्तु वैधता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक स्मृति अध्ययन पुनरावृत्त माप डिज़ाइन का उपयोग करता है जिसमें हर कोई पहले सूची A और फिर सूची B सीखता है। सूची B का स्मरण बेहतर है। सबसे संभावित दोष क्या है?

  1. Aअभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया
  2. Bमापन के क्रमसूचक स्तर का उपयोग
  3. Cबहुत बड़ा प्रतिदर्श आकार
  4. Dसमूहों के बीच व्यक्तिगत अंतर
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
202530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 35, 60, 20, 28, 43, 55, 24।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 34 से अधिक है?

μ = 50σ = 8x = 34
P =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 6नीली: 5

एक थैले में 6 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

6 / 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.3510.320.130.25μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X − 3। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.1, 0.25Y = 2X − 3
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.6778

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.6778 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.6778
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 g0X − Y?

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 8, s = 5.5LU = ?x̄ = 45.5E95%

8 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 45.5 और मानक विचलन s = 5.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 8x̄ = 45.5s = 5.595%t(7) = 2.365
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 15σ = ?Us = 9.195%

15 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 9.1 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 14 के साथ χ² बंटन का 2.5% 5.629 से नीचे और 2.5% 26.119 से ऊपर है।

n = 15s = 9.1 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.01102.011

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 200.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 200.8s = 8n = 49
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.64501.645

81 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 73.1 है। समष्टि मानक विचलन 8 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 73.1σ = 8n = 8190%
L =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy25646567989010112xy5106080100

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy349451562660769873xy468506070x = 7.5

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 7.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 7.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
निम्नमध्यमउच्चकुलशहरी24361777ग्रामीण194245106कुल437862183

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “शहरी, मध्यम” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 77स्तंभ योग = 78N = 183
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

3 पंक्तियों और 4 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

3 × 4
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · जनसंख्या वैधता (population validity)

यह उत्तर क्यों है

जनसंख्या वैधता बाह्य वैधता का एक प्रकार है। अधिकतर युवा, पश्चिमी और शिक्षित प्रतिदर्श अन्य लोगों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते।

उत्तर

B · जनसंख्या वैधता (population validity)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया

यह उत्तर क्यों है

जब सभी प्रतिभागी स्थितियों को एक ही क्रम में अनुभव करते हैं, तो सुधार सूची के बजाय अभ्यास को दर्शा सकता है। प्रति-संतुलन (ABBA या आधे AB, आधे BA) इसे नियंत्रित करता है।

उत्तर

A · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.42

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 265/7 = 37.86

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−2.857)² + 22.14² + (−17.86)² + (−9.857)² + 5.143² + 17.14² + (−13.86)² = 1427

मानक विचलन

s = √(1427/6) = 15.42

उत्तर

s = 15.42
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9772

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772

उत्तर

P = 0.9772
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2727

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0.2727

उत्तर

P = 0.2727
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 2.356

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.25, Var(X) = 1.388, σX = 1.178

रैखिक परिवर्तन

σY = |2|·1.178 = 2.356

उत्तर

σY = 2.356

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·1.25 − 3 = −0.5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.99

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.6778)/2 = 0.8389

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.8389 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.99

उत्तर

z = 0.99
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 50.1

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 7, t = 2.365

त्रुटि सीमा

E = 2.365·5.5/√8 = 4.599

अंतराल

45.5 ± 4.599 → [40.9, 50.1]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 50.1
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 6.662 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 14·9.1² = 1159

σ² की सीमाएँ

1159/26.119 = 44.39
1159/5.629 = 206

σ की सीमा

σ = √44.39 = 6.662 µm

उत्तर

σ = 6.662 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [6.662, 14.35] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.7

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

परीक्षण सांख्यिकी

t = (200.8 − 200)/1.143 = 0.7

उत्तर

t = 0.7
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| < 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 71.64

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·8/√81 = 1.462

अंतराल सीमा

L = 73.1 − 1.462 = 71.64

उत्तर

L = 71.64
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9874

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 402/5 = 80.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1925

सहसंबंध गुणांक

r = 274/√(40·1925) = 0.9874

उत्तर

r = 0.9874
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 70.5

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 364/6 = 60.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

समाश्रयण रेखा

b = 86/17.5 = 4.914
a = 60.67 − 4.914·5.5 = 33.64
ŷ = 33.64 + 4.914·x

पूर्वानुमान

ŷ = 33.64 + 4.914·7.5 = 70.5

उत्तर

ŷ = 70.5
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 32.82

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 77·78/183 = 32.82

उत्तर

E = 32.82
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 6

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

उत्तर

df = 6

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