मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अवलोकन शोध में घटना प्रतिचयन (event sampling) का अर्थ है:

  1. Aहर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना
  2. Bप्रतिभागियों को यादृच्छिक रूप से चुनना
  3. Cकेवल प्रतिभागियों द्वारा बताई गई घटनाएँ दर्ज करना
  4. Dकेवल निश्चित समय अंतरालों पर व्यवहार दर्ज करना
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन पाता है कि अधिक सोने वाले छात्रों के अंक अधिक होते हैं। कौन-सा डिज़ाइन परिवर्तन कारण-संबंधी निष्कर्ष की सबसे अच्छी अनुमति देगा?

  1. Aअधिक छात्रों का सर्वेक्षण करना
  2. Bछात्रों से अपनी नींद दो बार बताने को कहना और दोनों रिपोर्टों का औसत लेना
  3. Cछात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
  4. Dअंकों को अधिक सटीकता से मापना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 44, 21, 57, 51, 24, 60।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 36 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 20x = 36
z =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)100.35200.35300.05400.25μ = 22

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.35, 0.05, 0.25
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−100.8400.15900.05

एक खेल खेलने का मूल्य €10 है। आप प्रायिकता 0.15 से €50 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €10€50: p = 0.15€100: p = 0.05
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
246.25251P = ?

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 246.25 और 251 g के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 250σ = 5x1 = 246.25x2 = 251
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.04 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 11, s = 4L = ?Ux̄ = 90.5E95%

11 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 90.5 और मानक विचलन s = 4 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 11x̄ = 90.5s = 495%t(10) = 2.228
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

समष्टि मानक विचलन 37 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 37E = 0.590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.13102.131

16 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 201.4 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 201.4s = 8n = 16
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.64501.645

36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 47.5 है। समष्टि मानक विचलन 15 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 47.5σ = 15n = 3690%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy127224323423523xy242426

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy124221319420517xy2420x = 1.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (1.5, 25) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(1.5, 25)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट15291761रात की शिफ़्ट16432281कुल317239142

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “दिन की शिफ़्ट, कोई दोष नहीं” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 61स्तंभ योग = 31N = 142
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 9 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 9
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · हर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना

यह उत्तर क्यों है

घटना प्रतिचयन लक्ष्य व्यवहारों की हर घटना गिनता है। समय प्रतिचयन निर्धारित अंतरालों पर, जैसे हर 30 सेकंड, होने वाली बातें दर्ज करता है।

उत्तर

A · हर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना

यह उत्तर क्यों है

केवल यादृच्छिक आवंटन के साथ नींद में हेरफेर ही तीसरे चरों को नियंत्रित करता है और नैतिक सीमाओं के भीतर कारण-संबंधी अनुमान की अनुमति देता है।

उत्तर

C · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.7

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 257/6 = 42.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 1.167² + (−21.83)² + 14.17² + 8.167² + (−18.83)² + 17.17² = 1395

मानक विचलन

s = √(1395/5) = 16.7

उत्तर

s = 16.7
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1.2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (36 − 60)/20 = −1.2

उत्तर

z = −1.2
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 136

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.35 + 20·0.35 + 30·0.05 + 40·0.25 = 22

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.35 + 900·0.05 + 1600·0.25 = 620

प्रसरण

Var(X) = 620 − 22² = 136

उत्तर

Var(X) = 136
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 2.5 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 40 (p = 0.15), 90 (p = 0.05), −10 (p = 0.8)

प्रत्याशित मान

E(G) = 40·0.15 + 90·0.05 − 10·0.8 = 2.5 €

उत्तर

E(G) = 2.5 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.3526

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (246.25 − 250)/5 = −0.75
z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.2) − Φ(−0.75) = 0.5793 − 0.2266 = 0.3526

उत्तर

P = 0.3526
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9207

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

उत्तर

P = 0.9207
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 87.81

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 10, t = 2.228

त्रुटि सीमा

E = 2.228·4/√11 = 2.687

अंतराल

90.5 ± 2.687 → [87.81, 93.19]

उत्तर

निचली सीमा = 87.81
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 14819

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·37/0.5)² = 14818

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 14819

उत्तर

n = 14819
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.7

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

परीक्षण सांख्यिकी

t = (201.4 − 200)/2 = 0.7

उत्तर

t = 0.7
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 51.61

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·15/√36 = 4.112

अंतराल सीमा

U = 47.5 + 4.112 = 51.61

उत्तर

U = 51.61
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.8216

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 120/5 = 24

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9
Syy = Σ(y − ȳ)² = 12

सहसंबंध गुणांक

r = −9/√(10·12) = −0.8216

उत्तर

r = −0.8216
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 2.55

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

समाश्रयण रेखा

b = −15/10 = −1.5
a = 20.2 − (−1.5)·3 = 24.7
ŷ = 24.7 − 1.5·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 24.7 + (−1.5)·1.5 = 22.45

अवशिष्ट

e = 25 − 22.45 = 2.55

उत्तर

e = 2.55

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 13.32

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 61·31/142 = 13.32

उत्तर

E = 13.32
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 7

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 9 − 1 − 1 = 7

उत्तर

df = 7

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