वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
विषयवस्तु विश्लेषण में अंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता कैसे जाँची जाती है?
- Aदो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके
- Bबाद में प्रतिभागियों से पूछकर कि उनकी सामग्री की शोधकर्ता की कोडिंग सही है या नहीं
- Cसामग्री का बड़ा प्रतिदर्श लेकर
- Dसामग्री को एक ही दिन में दो बार कोड करके
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
गुणात्मक शोध में आत्म-परावर्तन (reflexivity) का अर्थ है कि शोधकर्ता:
- Aविषयों को संख्यात्मक आँकड़ों में बदलता है
- Bइस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
- Cपक्षपात हटाने के लिए यादृच्छिक प्रतिदर्श का उपयोग करता है
- Dविश्वसनीयता जाँचने के लिए अध्ययन दोहराता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 59, 46, 37, 51, 31।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 50 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 60σ = 10x = 50
z =
5.प्रायिकतामध्यम
एक थैले में 6 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?
6 / 6
P =
6.प्रायिकताकठिन
एक परीक्षा में 6 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 1 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?
n = 6p = 0.7k = 1
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 82 और 118.75 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।
μ = 100σ = 15x1 = 82x2 = 118.75
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।
μ = 100σ = 15P = 75%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 86 और मानक विचलन s = 16.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n = 7x̄ = 86s = 16.595%t(6) = 2.447
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 10 प्लॉट, माध्य उपज 58 kg, मानक विचलन 8 kg। प्लॉट समूह 2: 16 प्लॉट, माध्य 47.5 kg, मानक विचलन 5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n₁ = 10x̄₁ = 58s₁ = 8n₂ = 16x̄₂ = 47.5s₂ = 599%t(24) = 2.797
E = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 20 ज्ञात है। 100 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 45.56 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ ≠ 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 50σ = 20n = 100x̄ = 45.56H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ > 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 100 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 80.85 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 80μ = 80.85σ = 5n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 11 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 6x = 11
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 802 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: A · दो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके
यह उत्तर क्यों है
यदि स्वतंत्र कोडर एक ही आँकड़ों के लिए समान कोड देते हैं (उच्च सहमति या सहसंबंध), तो कोडिंग योजना विश्वसनीय है।
उत्तर
A · दो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
यह उत्तर क्यों है
आत्म-परावर्तन आँकड़ा संग्रह और व्याख्या पर शोधकर्ता के प्रभाव को स्वीकार करता है, और गुणात्मक कार्य में एक प्रमुख गुणवत्ता मानदंड है।
उत्तर
B · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 11.1
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 224/5 = 44.8
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 14.2² + 1.2² + (−7.8)² + 6.2² + (−13.8)² = 492.8
मानक विचलन
s = √(492.8/4) = 11.1
उत्तर
s = 11.1
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = −1
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (50 − 60)/10 = −1
उत्तर
z = −1
5.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.2273
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
पहली और दूसरी निकासी
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273
उत्तर
P = 0.2273
6.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.01021
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
द्विपद सूत्र
P(X = 1) = 6·0.71·0.35 = 6·0.7·0.00243 = 0.01021
उत्तर
P = 0.01021
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.7793
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
z-स्कोर
z₁ = (82 − 100)/15 = −1.2
z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25
बीच का क्षेत्रफल
P = Φ(1.25) − Φ(−1.2) = 0.8944 − 0.1151 = 0.7793
उत्तर
P = 0.7793
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 110.1 अंक
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
वापस x पर
x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 अंक
उत्तर
x = 110.12 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 15.26
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 6, t = 2.447
त्रुटि सीमा
E = 2.447·16.5/√7 = 15.26
उत्तर
E = 15.26
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 7.097 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (9·8² + 15·5²)/24 = 39.63
sp = 6.295
त्रुटि सीमा
E = 2.797·6.295·√(1/10 + 1/16) = 7.097
उत्तर
E = 7.097 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.02642
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 20/√100 = 2
z = (45.56 − 50)/2 = −2.22
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(2.22) = 0.9868
1 − Φ(2.22) = 0.0132
p-मान
p = 2·0.0132 = 0.02642
उत्तर
p = 0.02642
p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: 1 − β = 52.19 %
परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।
क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 80 + 1.645·0.5 = 80.82
वास्तविक माध्य के अंतर्गत z
z = (80.82 − 80.85)/0.5 = −0.055
शक्ति
शक्ति = P(Z > −0.055) = 52.19%
1 − β = 52.19%
उत्तर
1 − β = 52.19%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9836
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 473/5 = 94.6
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180
Syy = Σ(y − ȳ)² = 837.2
सहसंबंध गुणांक
r = 180/√(40·837.2) = 0.9836
उत्तर
r = 0.9836
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 40.4
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 157/6 = 26.17
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249
समाश्रयण रेखा
b = 249/70 = 3.557
a = 26.17 − 3.557·7 = 1.267
ŷ = 1.267 + 3.557·x
पूर्वानुमान
ŷ = 1.267 + 3.557·11 = 40.4
उत्तर
ŷ = 40.4
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 4.292
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
छात्र: 40·24/80 = 12, 40·24/80 = 12, 40·32/80 = 16
कर्मचारी: 40·24/80 = 12, 40·24/80 = 12, 40·32/80 = 16
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (16 − 12)²/12 + (9 − 12)²/12 + (15 − 16)²/16 + (8 − 12)²/12 + (15 − 12)²/12 + (17 − 16)²/16
χ² = 4.292
उत्तर
χ² = 4.292
df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 20.67
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
संयंत्र A: 28, 12
संयंत्र B: 42, 18
संयंत्र C: 70, 30
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (18 − 28)²/28 + (22 − 12)²/12 + (39 − 42)²/42 + (21 − 18)²/18 + (83 − 70)²/70 + (17 − 30)²/30
χ² = 20.67
निर्णय
df = 2, χ²crit = 9.210
20.67 > 9.210
उत्तर
χ² = 20.67
χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।
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