मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

15-मद चिंता स्केल के लिए 0.88 का क्रॉनबाख़ अल्फ़ा क्या दर्शाता है?

  1. Aअंक छह महीनों तक स्थिर रहते हैं
  2. Bमदों की अच्छी आंतरिक संगति
  3. Cस्केल का चिंता पर सार्थक प्रभाव है
  4. Dस्केल भविष्य की चिंता की अच्छी भविष्यवाणी करता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक मेटा-विश्लेषण किसी चिकित्सा के 40 अध्ययनों को जोड़ता है। उसका कुल प्रभाव-आकार फिर भी बहुत बड़ा क्यों हो सकता है?

  1. Aअध्ययनों को जोड़ने से हमेशा सारा पक्षपात हट जाता है
  2. Bमेटा-विश्लेषण यादृच्छिक परीक्षणों को शामिल नहीं कर सकते
  3. Cमेटा-विश्लेषण हमेशा अपने में शामिल एकल अध्ययनों से छोटे प्रभाव देते हैं
  4. Dप्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
15202530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 39, 49, 41, 30, 12, 11, 25।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 140 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 20x = 140
z =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 7नीली: 5

एक थैले में 7 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

7 / 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 8, p = 0.4: P(X = 3) = ?k012345678

एक परीक्षा में 8 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 3 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 8p = 0.4k = 3
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.6772

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.6772 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.6772
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
235240245250255260265gऊपर 70%

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 70% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g70%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 2.999%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 64

ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 2.9 है। उन्हीं आँकड़ों से 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 64E₁ = 2.995%
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(24) = 1.7110LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 11 प्लॉट, माध्य उपज 45 kg, मानक विचलन 5.5 kg। प्लॉट समूह 2: 15 प्लॉट, माध्य 48.5 kg, मानक विचलन 7 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 11x̄₁ = 45s₁ = 5.5n₂ = 15x̄₂ = 48.5s₂ = 790%t(24) = 1.711
ऊपरी सीमा = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.98401.984

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 119.1 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 119.1s = 5n = 100
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 9, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 9 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 90%δ = 5σ = 9zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2348688131015xy51051015

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2124196258361045xy5102040ŷ = 32

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 32 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 32
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
खाँसीखाँसी नहींकुलधूम्रपान करने वाले192140धूम्रपान न करने वाले5367120कुल7288160

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुललाइन 153760लाइन 27822100लाइन 3611980कुल19248240dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · मदों की अच्छी आंतरिक संगति

यह उत्तर क्यों है

क्रॉनबाख़ अल्फ़ा आंतरिक संगति का अनुमान लगाता है; लगभग 0.7 या उससे ऊपर के मान आमतौर पर स्वीकार्य माने जाते हैं। यह अपने आप में वैधता नहीं दिखाता।

उत्तर

B · मदों की अच्छी आंतरिक संगति
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं

यह उत्तर क्यों है

यदि शून्य परिणाम कम प्रकाशित होते हैं, तो संयुक्त प्रभाव बढ़ा हुआ होता है। फ़नल प्लॉट और अप्रकाशित आँकड़ों की खोज इसका पता लगाने और इसे घटाने में मदद करते हैं।

उत्तर

D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.56

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 207/7 = 29.57

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 9.429² + 19.43² + 11.43² + 0.4286² + (−17.57)² + (−18.57)² + (−4.571)² = 1272

मानक विचलन

s = √(1272/6) = 14.56

उत्तर

s = 14.56
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (140 − 100)/20 = 2

उत्तर

z = 2
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3182

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0.3182

उत्तर

P = 0.3182
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2787

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 3) = 56·0.43·0.65 = 56·0.064·0.07776 = 0.2787

उत्तर

P = 0.2787
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −0.46

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.6772 = 0.3228

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.3228 खोजें और z पढ़ें।

z = −0.46

उत्तर

z = −0.46
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 247.4 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.3

सारणी से z

z ≈ −0.52

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 − 0.52·5 = 247.4 g

उत्तर

x = 247.4 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 2.207

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(64/64) = 0.7609

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 2.9·0.7609 = 2.207

उत्तर

E₂ = 2.207
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 0.8589 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (10·5.5² + 14·7²)/24 = 41.19
sp = 6.418

त्रुटि सीमा

E = 1.711·6.418·√(1/11 + 1/15) = 4.359

अंतराल

−3.5 ± 4.359 → [−7.859, 0.8589]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 0.8589 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.8

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (119.1 − 120)/0.5 = −1.8

उत्तर

t = −1.8
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 43

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.282)·9/5)² = 42.18

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 43

उत्तर

n = 43
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9428

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 47/5 = 9.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
Syy = Σ(y − ȳ)² = 89.2

निर्धारण गुणांक

r² = 58²/(40·89.2) = 0.9428

उत्तर

r² = 0.9428

y के विचरण का लगभग 94.28% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 7.108

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 137/5 = 27.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

समाश्रयण रेखा

b = 166/40 = 4.15
a = 27.4 − 4.15·6 = 2.5
ŷ = 2.5 + 4.15·x

x के लिए हल करें

x = (32 − 2.5)/4.15 = 7.108

उत्तर

x = 7.108
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.1347

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 40·72/160 = 18, 40·88/160 = 22
धूम्रपान न करने वाले: 120·72/160 = 54, 120·88/160 = 66

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (19 − 18)²/18 + (21 − 22)²/22 + (53 − 54)²/54 + (67 − 66)²/66
χ² = 0.1347

उत्तर

χ² = 0.1347

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 3.557

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 48, 12
लाइन 2: 80, 20
लाइन 3: 64, 16

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (53 − 48)²/48 + (7 − 12)²/12 + (78 − 80)²/80 + (22 − 20)²/20 + (61 − 64)²/64 + (19 − 16)²/16
χ² = 3.557

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
3.557 < 5.991

उत्तर

χ² = 3.557

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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