मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

विश्वविद्यालय की जनसंख्या के समान अनुपात में प्रथम, द्वितीय और तृतीय वर्ष के छात्रों वाला प्रतिदर्श पाने के लिए शोधकर्ता को किसका उपयोग करना चाहिए?

  1. Aअवसर प्रतिचयन
  2. Bस्वयंसेवी प्रतिचयन
  3. Cस्तरीकृत प्रतिचयन
  4. Dस्नोबॉल प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता परखना चाहता है कि क्या नई शिक्षण विधि बेहतर ग्रेड का कारण बनती है, पर छात्रों को यादृच्छिक नहीं कर सकता। इस स्थिति में कौन-सा डिज़ाइन सबसे प्रबल कारण-संबंधी साक्ष्य देता है?

  1. Aग्रेड का इस बात से सहसंबंध निकालना कि छात्र शिक्षक को कितना पसंद करते हैं
  2. Bशिक्षण के बाद केवल नई विधि वाली कक्षा को मापना
  3. Cतुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना
  4. Dछात्रों से पूछना कि क्या उन्हें लगता है कि विधि काम कर गई
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
20253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 44, 51, 42, 29, 48, 20, 35।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 182 से अधिक है?

μ = 170σ = 20x = 182
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.0510.320.130.3540.2μ = 2.35

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.3, 0.1, 0.35, 0.2
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)10.2520.3530.240.2μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X + 1। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.2, 0.2Y = 10X + 1
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.7549

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.7549 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.7549
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.04 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 10, sd​ = 7.30LU = ?d̄ = −2.2E90%

10 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य −2.2 और मानक विचलन 7.3 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10d̄ = −2.2sd = 7.390%t(9) = 1.833
ऊपरी सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

समष्टि मानक विचलन 39 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?

σ = 39E = 195%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1792.179t = ?df = 12

13 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −8.76 और अंतरों का मानक विचलन 7.9 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 13d̄ = −8.76sd = 7.9
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.9601.96

16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 509 है। समष्टि मानक विचलन 12 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 509σ = 12n = 1695%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy37057979991061112413143xy510100150

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 48Σy = 621Σx² = 454Σy² = 68003Σxy = 5475
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2484586618721080xy51050607080x = 3

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 3
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र26264395कर्मचारी19112858कुल453771153

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “कर्मचारी, बस” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 58स्तंभ योग = 45N = 153
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुलसंयंत्र A211940संयंत्र B303060संयंत्र C134760कुल6496160dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1603 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · स्तरीकृत प्रतिचयन

यह उत्तर क्यों है

स्तरीकृत प्रतिचयन उपसमूहों (स्तरों) की पहचान करता है और हर एक से जनसंख्या में उसके आकार के अनुपात में यादृच्छिक प्रतिदर्श लेता है, जिससे प्रतिदर्श अधिक प्रतिनिधि बनता है।

उत्तर

C · स्तरीकृत प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना

यह उत्तर क्यों है

गैर-समतुल्य समूह पूर्व-परीक्षण–पश्च-परीक्षण डिज़ाइन प्रारंभिक अंतरों और समय के साथ परिवर्तन को नियंत्रित करता है, हालाँकि यह यादृच्छिक प्रयोग से कमज़ोर है।

उत्तर

C · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.06

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 269/7 = 38.43

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 5.571² + 12.57² + 3.571² + (−9.429)² + 9.571² + (−18.43)² + (−3.429)² = 733.7

मानक विचलन

s = √(733.7/6) = 11.06

उत्तर

s = 11.06
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.2743

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.6

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

उत्तर

P = 0.2743
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.528

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.05 + 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.2 = 2.35

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.2 = 7.05

प्रसरण

Var(X) = 7.05 − 2.35² = 1.528

उत्तर

Var(X) = 1.528
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 10.62

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.35, Var(X) = 1.127, σX = 1.062

रैखिक परिवर्तन

σY = |10|·1.062 = 10.62

उत्तर

σY = 10.62

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·2.35 + 1 = 24.5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −0.69

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.7549 = 0.2451

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.2451 खोजें और z पढ़ें।

z = −0.69

उत्तर

z = −0.69
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9868

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

उत्तर

P = 0.9868
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 2.031 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 9, t = 1.833

त्रुटि सीमा

E = 1.833·7.3/√10 = 4.231

अंतराल

−2.2 ± 4.231 → [−6.431, 2.031]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 2.031 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 5844

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·39/1)² = 5843

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 5844

उत्तर

n = 5844
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −3.998

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 7.9/√13 = 2.191

परीक्षण सांख्यिकी

t = −8.76/2.191 = −3.998

उत्तर

t = −3.998

df = 12 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.179 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 514.9

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.96·12/√16 = 5.88

अंतराल सीमा

U = 509 + 5.88 = 514.9

उत्तर

U = 514.9
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9923

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 5475 − 48·621/6 = 507
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 68003 − 621²/6 = 3730

सहसंबंध गुणांक

r = 507/√(70·3730) = 0.9923

उत्तर

r = 0.9923
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 52.1

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 319/5 = 63.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

समाश्रयण रेखा

b = 156/40 = 3.9
a = 63.8 − 3.9·6 = 40.4
ŷ = 40.4 + 3.9·x

पूर्वानुमान

ŷ = 40.4 + 3.9·3 = 52.1

उत्तर

ŷ = 52.1
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 17.06

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 58·45/153 = 17.06

उत्तर

E = 17.06
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 13.51

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

संयंत्र A: 16, 24
संयंत्र B: 24, 36
संयंत्र C: 24, 36

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (21 − 16)²/16 + (19 − 24)²/24 + (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (13 − 24)²/24 + (47 − 36)²/36
χ² = 13.51

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
13.51 > 5.991

उत्तर

χ² = 13.51

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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