मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

आंतरिक वैधता (internal validity) किसे संदर्भित करती है?

Aक्या निष्कर्ष अध्ययन से परे अन्य जनसंख्याओं, परिस्थितियों और समयों पर सामान्यीकृत होते हैं
Bक्या प्रतिभागियों को अध्ययन रोचक लगा
Cक्या परीक्षण समय के साथ समान परिणाम देता है
Dक्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक स्मृति अध्ययन पुनरावृत्त माप डिज़ाइन का उपयोग करता है जिसमें हर कोई पहले सूची A और फिर सूची B सीखता है। सूची B का स्मरण बेहतर है। सबसे संभावित दोष क्या है?

Aसमूहों के बीच व्यक्तिगत अंतर
Bअभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया
Cमापन के क्रमसूचक स्तर का उपयोग
Dबहुत बड़ा प्रतिदर्श आकार

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 15, 58, 18, 33, 15, 25, 47।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 42 से कम है?

μ = 60σ = 15x = 42

P =

5.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 3 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

3 / 5

P =

6.प्रायिकताकठिन

12 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.6

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 6 का कुल द्रव्यमान 151.2 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6< 151.2 kg

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।

μ = 100σ = 15P = 90%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 50 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 6.1 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 450 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 50E₁ = 6.1n₂ = 450

E₂ =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 16 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?

σ = 16E = 190%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 66 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 5 mm है। लाइन 2: 50 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 62.8 mm, ज्ञात मानक विचलन 8 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 80x̄₁ = 66 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 62.8 mmσ₂ = 8 mm

z =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ > 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 25 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 7.5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 84.35 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 84.35σ = 7.5n = 25α = 0.10

β = %

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 153Σy = 417Σx² = 4059Σy² = 30891Σxy = 11172

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (11, 28) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(11, 28)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 802 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 8 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²_crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05

χ²_crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ

यह उत्तर क्यों है

उच्च आंतरिक वैधता का अर्थ है कि वैकल्पिक व्याख्याएँ, जैसे भ्रामक चर, माँग विशेषताएँ या प्रयोगकर्ता पक्षपात, ख़ारिज कर दी गई हैं। बाह्य वैधता सामान्यीकरण से संबंधित है।

उत्तर

D · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया

यह उत्तर क्यों है

जब सभी प्रतिभागी स्थितियों को एक ही क्रम में अनुभव करते हैं, तो सुधार सूची के बजाय अभ्यास को दर्शा सकता है। प्रति-संतुलन (ABBA या आधे AB, आधे BA) इसे नियंत्रित करता है।

उत्तर

B · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.84

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 211/7 = 30.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−15.14)² + 27.86² + (−12.14)² + 2.857² + (−15.14)² + (−5.143)² + 16.86² = 1701

मानक विचलन

s = √(1701/6) = 16.84

उत्तर

s = 16.84

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1151

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

उत्तर

P = 0.1151

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1071

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0.1071

उत्तर

P = 0.1071

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.0003188

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.4¹² = 1.678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0.6·0.4¹¹ = 0.000302

जोड़ें

P = 1.678 × 10⁻⁵ + 0.000302 = 0.0003188

उत्तर

P = 0.0003188

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8365

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

मानकीकृत करें

z = (151.2 − 150)/1.225 = 0.98

प्रायिकता

P = Φ(0.98) = 0.8365

उत्तर

P = 0.8365

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 119.2 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

वापस x पर

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 अंक

उत्तर

x = 119.22 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 2.033

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(50/450) = 0.3333

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 6.1·0.3333 = 2.033

उत्तर

E₂ = 2.033

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 693

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·16/1)² = 692.7

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 693

उत्तर

n = 693

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 2.536

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(5²/80 + 8²/50) = √1.593 = 1.262

परीक्षण सांख्यिकी

z = (66 − 62.8)/1.262 = 2.536

उत्तर

z = 2.536

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 5.283 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 7.5/√25 = 1.5

x̄_c = 80 + 1.282·1.5 = 81.92

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (81.92 − 84.35)/1.5 = −1.618

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z > −1.618) = 94.72%

β = 100% − 94.72% = 5.283%

उत्तर

β = 5.283%

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9819

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 11172 − 153·417/6 = 538.5

S_xx = 4059 − 153²/6 = 157.5

S_yy = 30891 − 417²/6 = 1910

सहसंबंध गुणांक

r = 538.5/√(157.5·1910) = 0.9819

उत्तर

r = 0.9819

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 3.543

माध्य

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 96/6 = 16

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

समाश्रयण रेखा

b = 148/70 = 2.114

a = 16 − 2.114·7 = 1.2

ŷ = 1.2 + 2.114·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 1.2 + 2.114·11 = 24.46

अवशिष्ट

e = 28 − 24.46 = 3.543

उत्तर

e = 3.543

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 4.267

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

शहरी: 40·16/80 = 8, 40·24/80 = 12, 40·40/80 = 20

ग्रामीण: 40·16/80 = 8, 40·24/80 = 12, 40·40/80 = 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (8 − 8)²/8 + (16 − 12)²/12 + (16 − 20)²/20 + (8 − 8)²/8 + (8 − 12)²/12 + (24 − 20)²/20

χ² = 4.267

उत्तर

χ² = 4.267

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²_crit = 12.59

स्वातंत्र्य कोटि

df = 8 − 1 − 1 = 6

तालिका

χ²_crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592

उत्तर

χ²_crit = 12.592

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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