वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
जब आँकड़े क्रमसूचक हों या स्पष्ट रूप से सामान्य न हों, तो कौन-सा परीक्षण दो स्वतंत्र समूहों की तुलना करता है?
- Aविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
- Bमान–व्हिटनी U परीक्षण
- Cकाई-वर्ग परीक्षण
- Dस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
"बुद्धि" का एक परीक्षण मुख्य रूप से यह मापता है कि लोग कितनी तेज़ी से टाइप कर सकते हैं। किस प्रकार की वैधता की सबसे स्पष्ट कमी है?
- Aपरीक्षण-पुनःपरीक्षण विश्वसनीयता
- Bसंरचना वैधता (construct validity)
- Cआंतरिक संगति
- Dअंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 44, 41, 21, 10, 47।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 73.2 से अधिक है?
μ = 70σ = 8x = 73.2
P =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.35, 0.35, 0.2
σ =
6.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.25 से €25 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €250; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €5€25: p = 0.25€250: p = 0.01
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 246 और 260 g के बीच है? P को दशमलव में दें।
μ = 250σ = 5x1 = 246x2 = 260
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 124 h, ज्ञात मानक विचलन 10 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 132 h, ज्ञात मानक विचलन 17 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n₁ = 30x̄₁ = 124 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 132 hσ₂ = 17 h95%
E = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
10 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 10.2 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 9 के साथ χ² बंटन का 2.5% 2.7 से नीचे और 2.5% 19.023 से ऊपर है।
n = 10s = 10.2 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 10 ज्ञात है। 25 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 47.72 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ ≠ 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 50σ = 10n = 25x̄ = 47.72H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
49 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 116.8 है। समष्टि मानक विचलन 8 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 116.8σ = 8n = 4999%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6Σx = 21Σy = 120Σx² = 91Σy² = 2488Σxy = 382
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 9 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 9
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1602 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 9 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।
α = 0.01
χ²crit =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · मान–व्हिटनी U परीक्षण
यह उत्तर क्यों है
मान–व्हिटनी U परीक्षण दो असंबंधित समूहों के बीच कोटियों की तुलना करता है। विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।
उत्तर
B · मान–व्हिटनी U परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · संरचना वैधता (construct validity)
यह उत्तर क्यों है
संरचना वैधता यह है कि क्या कोई माप वास्तव में अंतर्निहित संरचना को दर्शाता है। एक परीक्षण ग़लत चीज़ मापते हुए भी विश्वसनीय हो सकता है।
उत्तर
B · संरचना वैधता (construct validity)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 16.23
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 163/5 = 32.6
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 11.4² + 8.4² + (−11.6)² + (−22.6)² + 14.4² = 1053
मानक विचलन
s = √(1053/4) = 16.23
उत्तर
s = 16.23
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.3446
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 0.4
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
उत्तर
P = 0.3446
5.प्रायिकता
उत्तर: σ = 9.097
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 10·0.1 + 20·0.35 + 30·0.35 + 40·0.2 = 26.5
वर्गों का माध्य
E(X²) = 100·0.1 + 400·0.35 + 900·0.35 + 1600·0.2 = 785
प्रसरण
Var(X) = 785 − 26.5² = 82.75
σ = √82.75 = 9.097
उत्तर
σ = 9.097
6.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = 3.75 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 20 (p = 0.25), 245 (p = 0.01), −5 (p = 0.74)
प्रत्याशित मान
E(G) = 20·0.25 + 245·0.01 − 5·0.74 = 3.75 €
उत्तर
E(G) = 3.75 €
धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.7654
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
z-स्कोर
z₁ = (246 − 250)/5 = −0.8
z₂ = (260 − 250)/5 = 2
बीच का क्षेत्रफल
P = Φ(2) − Φ(−0.8) = 0.9772 − 0.2119 = 0.7654
उत्तर
P = 0.7654
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 37.05 min
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
वापस x पर
x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min
उत्तर
x = 37.05 min
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 5.595 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 124 − 132 = −8
मानक त्रुटि
SE = √(10²/30 + 17²/60) = 2.855
त्रुटि सीमा
E = 1.96·2.855 = 5.595
उत्तर
E = 5.595 h
अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: σ = 18.62 µm
प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।
वर्गों का योग
(n − 1)s² = 9·10.2² = 936.4
σ² की सीमाएँ
936.4/19.023 = 49.22
936.4/2.7 = 346.8
σ की सीमा
σ = √346.8 = 18.62 µm
उत्तर
σ = 18.62 µm
σ के लिए 95% अंतराल: [7.016, 18.62] µm।
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.2543
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (47.72 − 50)/2 = −1.14
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(1.14) = 0.8729
1 − Φ(1.14) = 0.1271
p-मान
p = 2·0.1271 = 0.2543
उत्तर
p = 0.2543
p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 119.7
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 2.576·8/√49 = 2.944
अंतराल सीमा
U = 116.8 + 2.944 = 119.7
उत्तर
U = 119.7
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = −0.9683
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 382 − 21·120/6 = −38
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2488 − 120²/6 = 88
सहसंबंध गुणांक
r = −38/√(17.5·88) = −0.9683
उत्तर
r = −0.9683
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 53.85
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 213/5 = 42.6
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
समाश्रयण रेखा
b = 150/40 = 3.75
a = 42.6 − 3.75·6 = 20.1
ŷ = 20.1 + 3.75·x
पूर्वानुमान
ŷ = 20.1 + 3.75·9 = 53.85
उत्तर
ŷ = 53.85
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 5.28
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
दिन की शिफ़्ट: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15
रात की शिफ़्ट: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (33 − 30)²/30 + (18 − 15)²/15 + (9 − 15)²/15 + (47 − 50)²/50 + (22 − 25)²/25 + (31 − 25)²/25
χ² = 5.28
उत्तर
χ² = 5.28
df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ²crit = 18.48
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = 9 − 1 − 1 = 7
तालिका
χ²crit(df = 7, α = 0.01) = 18.475
उत्तर
χ²crit = 18.475
यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।
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