वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
कौन-सा डिज़ाइन हर स्थिति में अलग प्रतिभागियों का उपयोग करता है?
- Aअंतः-व्यक्ति डिज़ाइन
- Bपुनरावृत्त माप डिज़ाइन
- Cउन्हीं लोगों के साथ मिलान-युग्म डिज़ाइन
- Dस्वतंत्र समूह डिज़ाइन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
विषयगत (थीमैटिक) विश्लेषण में विश्लेषक मुख्यतः क्या करता है?
- Aगुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
- Bहर विषय का माध्य अंक निकालता है ताकि उनकी सांख्यिकीय तुलना हो सके
- Cकिसी संख्यात्मक परिकल्पना का परीक्षण करता है
- Dकेवल शब्द-आवृत्तियाँ गिनता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 25, 46, 23, 43, 14, 51, 17।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 112 से कम है?
μ = 100σ = 12x = 112
P =
5.प्रायिकतामध्यम
12 लोगों के समूह से 3 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।
n = 12k = 3
N =
6.प्रायिकताकठिन
एक परीक्षा में 6 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?
n = 6p = 0.6k = 4
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 29 और 39.2 min के बीच है? P को दशमलव में दें।
μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 39.2
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
25 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 32 और मानक विचलन s = 8.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 25x̄ = 32s = 8.590%t(24) = 1.711
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
21 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 7 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 20 के साथ χ² बंटन का 2.5% 9.591 से नीचे और 2.5% 34.17 से ऊपर है।
n = 21s = 7 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 23 छात्र, माध्य अंक 80.5, मानक विचलन 7.5। समूह 2: 8 छात्र, माध्य अंक 86.5, मानक विचलन 8.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n₁ = 23x̄₁ = 80.5s₁ = 7.5n₂ = 8x̄₂ = 86.5s₂ = 8.5
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
64 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 48.6 है। समष्टि मानक विचलन 12 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 48.6σ = 12n = 6490%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 6x = 3
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 2202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।
N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · स्वतंत्र समूह डिज़ाइन
यह उत्तर क्यों है
स्वतंत्र समूह डिज़ाइन में हर स्थिति के अलग प्रतिभागी होते हैं; इससे क्रम प्रभाव टलते हैं, पर प्रतिभागी चरों का जोखिम रहता है।
उत्तर
D · स्वतंत्र समूह डिज़ाइन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: A · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
यह उत्तर क्यों है
विषयगत विश्लेषण में आँकड़ों से परिचय, कोडिंग, विषय बनाना, उनकी समीक्षा, नामकरण और लेखन शामिल हैं; इसका केंद्र सांख्यिकी के बजाय अर्थ है।
उत्तर
A · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 15.02
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 219/7 = 31.29
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−6.286)² + 14.71² + (−8.286)² + 11.71² + (−17.29)² + 19.71² + (−14.29)² = 1353
मानक विचलन
s = √(1353/6) = 15.02
उत्तर
s = 15.02
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.8413
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
उत्तर
P = 0.8413
5.प्रायिकता
उत्तर: N = 220
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
संचय
C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
उत्तर
N = 220
6.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.311
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
द्विपद सूत्र
P(X = 4) = 15·0.64·0.42 = 15·0.1296·0.16 = 0.311
उत्तर
P = 0.311
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.5764
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
z-स्कोर
z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5
z₂ = (39.2 − 32)/6 = 1.2
बीच का क्षेत्रफल
P = Φ(1.2) − Φ(−0.5) = 0.8849 − 0.3085 = 0.5764
उत्तर
P = 0.5764
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 256.4 g
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
वापस x पर
x = 250 + 1.282·5 = 256.41 g
उत्तर
x = 256.41 g
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 34.91
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 24, t = 1.711
त्रुटि सीमा
E = 1.711·8.5/√25 = 2.909
अंतराल
32 ± 2.909 → [29.09, 34.91]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 34.91
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: σ = 10.11 µm
प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।
वर्गों का योग
(n − 1)s² = 20·7² = 980
σ² की सीमाएँ
980/34.17 = 28.68
980/9.591 = 102.2
σ की सीमा
σ = √102.2 = 10.11 µm
उत्तर
σ = 10.11 µm
σ के लिए 95% अंतराल: [5.355, 10.11] µm।
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −1.885
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
संयुक्त प्रसरण
sp² = (22·7.5² + 7·8.5²)/29 = 60.11
sp = 7.753
मानक त्रुटि
SE = 7.753·√(1/23 + 1/8) = 3.182
परीक्षण सांख्यिकी
t = (80.5 − 86.5)/3.182 = −1.885
उत्तर
t = −1.885
df = 29 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.045 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 51.07
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.645·12/√64 = 2.468
अंतराल सीमा
U = 48.6 + 2.468 = 51.07
उत्तर
U = 51.07
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9626
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 365/6 = 60.83
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 450.8
सहसंबंध गुणांक
r = 85.5/√(17.5·450.8) = 0.9626
उत्तर
r = 0.9626
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 6.929
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 81/6 = 13.5
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115
समाश्रयण रेखा
b = 115/70 = 1.643
a = 13.5 − 1.643·7 = 2
ŷ = 2 + 1.643·x
पूर्वानुमान
ŷ = 2 + 1.643·3 = 6.929
उत्तर
ŷ = 6.929
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 8.479
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
दिन की शिफ़्ट: 120·33/220 = 18, 120·88/220 = 48, 120·99/220 = 54
रात की शिफ़्ट: 100·33/220 = 15, 100·88/220 = 40, 100·99/220 = 45
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (24 − 18)²/18 + (39 − 48)²/48 + (57 − 54)²/54 + (9 − 15)²/15 + (49 − 40)²/40 + (42 − 45)²/45
χ² = 8.479
उत्तर
χ² = 8.479
df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 0.8594
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
संयंत्र A: 64, 16
संयंत्र B: 32, 8
संयंत्र C: 32, 8
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (65 − 64)²/64 + (15 − 16)²/16 + (30 − 32)²/32 + (10 − 8)²/8 + (33 − 32)²/32 + (7 − 8)²/8
χ² = 0.8594
निर्णय
df = 2, χ²crit = 9.210
0.8594 < 9.210
उत्तर
χ² = 0.8594
χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।
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