मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

कौन-सा डिज़ाइन हर स्थिति में अलग प्रतिभागियों का उपयोग करता है?

Aउन्हीं लोगों के साथ मिलान-युग्म डिज़ाइन
Bस्वतंत्र समूह डिज़ाइन
Cअंतः-व्यक्ति डिज़ाइन
Dपुनरावृत्त माप डिज़ाइन

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक मेटा-विश्लेषण किसी चिकित्सा के 40 अध्ययनों को जोड़ता है। उसका कुल प्रभाव-आकार फिर भी बहुत बड़ा क्यों हो सकता है?

Aमेटा-विश्लेषण यादृच्छिक परीक्षणों को शामिल नहीं कर सकते
Bमेटा-विश्लेषण हमेशा अपने में शामिल एकल अध्ययनों से छोटे प्रभाव देते हैं
Cअध्ययनों को जोड़ने से हमेशा सारा पक्षपात हट जाता है
Dप्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 14, 55, 38, 38, 55।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 140 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 20x = 140

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.2, 0.35, 0.05, 0.25

σ =

6.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €1 है। आप प्रायिकता 0.3 से €3 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €10; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €1€3: p = 0.3€10: p = 0.02

E(G) = €

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 120 mm और मानक विचलन 0.3 mm है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 80 mm और मानक विचलन 0.4 mm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 201 mm से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 201 mm

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 85% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक85%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 7.5 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 50 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 25E₁ = 7.5n₂ = 50

E₂ =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.8 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.03 हो?

p ≈ 0.8E = 0.0399%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 104.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 104.8s = 10n = 36

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो? मानक विचलन 8 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 8E = 0.599%

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 21 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 21

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1402 × 2

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 9 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 9

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · स्वतंत्र समूह डिज़ाइन

यह उत्तर क्यों है

स्वतंत्र समूह डिज़ाइन में हर स्थिति के अलग प्रतिभागी होते हैं; इससे क्रम प्रभाव टलते हैं, पर प्रतिभागी चरों का जोखिम रहता है।

उत्तर

B · स्वतंत्र समूह डिज़ाइन

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं

यह उत्तर क्यों है

यदि शून्य परिणाम कम प्रकाशित होते हैं, तो संयुक्त प्रभाव बढ़ा हुआ होता है। फ़नल प्लॉट और अप्रकाशित आँकड़ों की खोज इसका पता लगाने और इसे घटाने में मदद करते हैं।

उत्तर

D · प्रकाशन पक्षपात का अर्थ है कि अप्रकाशित शून्य अध्ययन छूट सकते हैं

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.84

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 200/5 = 40

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−26)² + 15² + (−2)² + (−2)² + 15² = 1134

मानक विचलन

s = √(1134/4) = 16.84

उत्तर

s = 16.84

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 2

मानकीकृत करें

z = (140 − 100)/20 = 2

उत्तर

z = 2

5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.359

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.15 + 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.25 = 2.05

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.25 = 6.05

प्रसरण

Var(X) = 6.05 − 2.05² = 1.848

σ = √1.848 = 1.359

उत्तर

σ = 1.359

6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.1 €

शुद्ध परिणाम

G: 2 (p = 0.3), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.68)

प्रत्याशित मान

E(G) = 2·0.3 + 9·0.02 − 1·0.68 = 0.1 €

उत्तर

E(G) = 0.1 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.02275

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

मानकीकृत करें

z = (201 − 200)/0.5 = 2

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 75.4 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.85

सारणी से z

z ≈ 1.04

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 + 1.04·10 = 75.4 अंक

उत्तर

x = 75.4 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 5.303

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(25/50) = 0.7071

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 7.5·0.7071 = 5.303

उत्तर

E₂ = 5.303

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1180

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 2.576²·0.8·0.2/0.03² = 1180

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1180

उत्तर

n = 1180

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.88

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

परीक्षण सांख्यिकी

t = (104.8 − 100)/1.667 = 2.88

उत्तर

t = 2.88

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1699

n ज्ञात करें

n = (2.576·8/0.5)² = 1699

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1699

उत्तर

n = 1699

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9629

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 108/6 = 18

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 142

सहसंबंध गुणांक

r = −48/√(17.5·142) = −0.9629

उत्तर

r = −0.9629

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 3.667

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 109/5 = 21.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

समाश्रयण रेखा

b = −12/10 = −1.2

a = 21.8 − (−1.2)·3 = 25.4

ŷ = 25.4 − 1.2·x

x के लिए हल करें

x = (21 − 25.4)/(−1.2) = 3.667

उत्तर

x = 3.667

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.051

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 80·91/140 = 52, 80·49/140 = 28

प्लेसिबो: 60·91/140 = 39, 60·49/140 = 21

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (56 − 52)²/52 + (24 − 28)²/28 + (35 − 39)²/39 + (25 − 21)²/21

χ² = 2.051

उत्तर

χ² = 2.051

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 8

स्वातंत्र्य कोटि

df = 9 − 1 = 8

उत्तर

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology