वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
एक सहसंबंध में r = 0.40 है। एक चर में प्रसरण का कितना अनुपात दूसरे के साथ साझा है?
- A60%
- B16%
- C40%
- D4%
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
आँकड़ों का विश्लेषण करने के बाद एक शोधकर्ता भूमिका ऐसे लिखता है मानो एक अप्रत्याशित निष्कर्ष की भविष्यवाणी शुरू से की गई थी। इसे क्या कहते हैं?
- AHARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)
- Bडीब्रीफ़िंग
- Cसंक्रियाकरण
- Dप्रति-संतुलन
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 10, 51, 52, 32, 56।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 158 से अधिक है?
μ = 170σ = 12x = 158
P =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.25, 0.25, 0.35
σ =
6.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €1 है। आप प्रायिकता 0.2 से €2 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €20; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €1€2: p = 0.2€20: p = 0.02
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.8770 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.8770
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 85% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
μ = 100 अंकσ = 15 अंक85%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
13 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 3.7 और मानक विचलन 0.6 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 13d̄ = 3.7sd = 0.690%t(12) = 1.782
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.05 हो?
p = 0.5E = 0.0590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 72.3 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 75x̄ = 72.3s = 12n = 64
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 100 में से 65 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 300 में से 171 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 171n₂ = 300
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 76 का पूर्वानुमान देती है?
n = 5ŷ = 76
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “छात्र, साइकिल” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।
पंक्ति योग = 41स्तंभ योग = 46N = 139
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।
N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · 16%
यह उत्तर क्यों है
निर्धारण गुणांक r² है, यहाँ 0.40² = 0.16, इसलिए 16% प्रसरण साझा है।
उत्तर
B · 16%
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: A · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)
यह उत्तर क्यों है
HARKing अन्वेषणात्मक परिणामों को पुष्टिकारी के रूप में प्रस्तुत करता है, जिससे निष्कर्ष वास्तविकता से अधिक मज़बूत दिखते हैं। यह पुनरुत्पादन संकट (replication crisis) में योगदान देता है।
उत्तर
A · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 19.27
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 201/5 = 40.2
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−30.2)² + 10.8² + 11.8² + (−8.2)² + 15.8² = 1485
मानक विचलन
s = √(1485/4) = 19.27
उत्तर
s = 19.27
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.8413
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −1
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
उत्तर
P = 0.8413
5.प्रायिकता
उत्तर: σ = 10.77
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 10·0.15 + 20·0.25 + 30·0.25 + 40·0.35 = 28
वर्गों का माध्य
E(X²) = 100·0.15 + 400·0.25 + 900·0.25 + 1600·0.35 = 900
प्रसरण
Var(X) = 900 − 28² = 116
σ = √116 = 10.77
उत्तर
σ = 10.77
6.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = −0.2 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 1 (p = 0.2), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.78)
प्रत्याशित मान
E(G) = 1·0.2 + 19·0.02 − 1·0.78 = −0.2 €
उत्तर
E(G) = −0.2 €
ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = −1.16
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.8770 = 0.1230
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.1230 खोजें और z पढ़ें।
z = −1.16
उत्तर
z = −1.16
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 84.4 अंक
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 0.15
सारणी से z
z ≈ −1.04
मूल इकाइयों में वापस
x = 100 − 1.04·15 = 84.4 अंक
उत्तर
x = 84.4 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = 3.403 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
क्रांतिक मान
df = 12, t = 1.782
त्रुटि सीमा
E = 1.782·0.6/√13 = 0.2965
अंतराल
3.7 ± 0.2965 → [3.403, 3.997]
उत्तर
निचली सीमा = 3.403 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 271
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n ज्ञात करें
n = 1.645²·0.5·0.5/0.05² = 270.6
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 271
उत्तर
n = 271
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −1.8
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5
परीक्षण सांख्यिकी
t = (72.3 − 75)/1.5 = −1.8
उत्तर
t = −1.8
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 1.409
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 65/100 = 0.65
p̂₂ = 171/300 = 0.57
p̂ = 236/400 = 0.59
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.59·0.41·(1/100 + 1/300)) = 0.05679
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.65 − 0.57)/0.05679 = 1.409
उत्तर
z = 1.409
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.9784
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 106/5 = 21.2
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
Syy = Σ(y − ȳ)² = 458.8
निर्धारण गुणांक
r² = 134²/(40·458.8) = 0.9784
उत्तर
r² = 0.9784
y के विचरण का लगभग 97.84% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: x = 8.042
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 355/5 = 71
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192
समाश्रयण रेखा
b = 192/40 = 4.8
a = 71 − 4.8·7 = 37.4
ŷ = 37.4 + 4.8·x
x के लिए हल करें
x = (76 − 37.4)/4.8 = 8.042
उत्तर
x = 8.042
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: E = 13.57
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणना
E = 41·46/139 = 13.57
उत्तर
E = 13.57
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 1.563
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
लाइन 1: 36, 24
लाइन 2: 24, 16
लाइन 3: 36, 24
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (39 − 36)²/36 + (21 − 24)²/24 + (21 − 24)²/24 + (19 − 16)²/16 + (36 − 36)²/36 + (24 − 24)²/24
χ² = 1.563
निर्णय
df = 2, χ²crit = 9.210
1.563 < 9.210
उत्तर
χ² = 1.563
χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।
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