मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रयोगकर्ता पक्षपात सबसे सीधे किससे घटता है?

  1. Aबड़े प्रतिदर्श का उपयोग
  2. Bएक-पुच्छीय परिकल्पना का उपयोग
  3. Cकेवल स्वयंसेवकों का उपयोग
  4. Dआँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता उदास फ़िल्म दिखाकर मनोदशा में हेरफेर करता है, फिर मुख्य कार्य से पहले प्रतिभागियों से पूछता है कि वे कितना उदास महसूस करते हैं। यह रेटिंग क्यों शामिल की गई है?

  1. Aअध्ययन के मुख्य आश्रित चर के रूप में
  2. Bप्रतिभागियों को उद्देश्यों के बारे में डीब्रीफ़ करने के लिए
  3. Cस्थितियों के क्रम का प्रति-संतुलन करने के लिए
  4. Dहेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 45, 54, 12, 49, 45, 53, 36।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 100 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 20x = 100
z =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5?6?7P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7
P =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)100.1200.35300.25400.3μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 1। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.3Y = 3X + 1
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
32 min29.5 minX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 12 min और मानक विचलन 1.5 min है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 20 min और मानक विचलन 2 min है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 29.5 min से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 29.5 min
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.04 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 60 फ़ोन, माध्य 121.5 h, ज्ञात मानक विचलन 18 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 114.5 h, ज्ञात मानक विचलन 18 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 121.5 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 114.5 hσ₂ = 18 h95%
ऊपरी सीमा = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(10) = 2.2280L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 39 kg, मानक विचलन 7.5 kg। प्लॉट समूह 2: 5 प्लॉट, माध्य 43.5 kg, मानक विचलन 9.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 39s₁ = 7.5n₂ = 5x̄₂ = 43.5s₂ = 9.595%t(10) = 2.228
निचली सीमा = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.961.96z = ?

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 100 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 63 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 17 mm है। लाइन 2: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 66.8 mm, ज्ञात मानक विचलन 11 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 100x̄₁ = 63 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 80x̄₂ = 66.8 mmσ₂ = 11 mm
z =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2α = 0.05βσ = 7, शक्ति 95%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 95% शक्ति के साथ माध्य में 2 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 7 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 95%δ = 2σ = 7zα = 1.645zβ = 1.645
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy25466148151021xy5105101520

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy254126178201029xy510102030x = 3

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3, 10) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(3, 10)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
सुधार हुआसुधार नहीं हुआकुलनई दवा671380प्लेसिबो112940कुल7842120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 7 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 7
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता

यह उत्तर क्यों है

परिकल्पना जानने वाले प्रयोगकर्ता अनजाने में प्रतिभागियों या अभिलेखों को प्रभावित कर सकते हैं। एकल- या द्वि-अंध प्रक्रियाएँ और मानकीकृत निर्देश इसे घटाते हैं।

उत्तर

D · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया

यह उत्तर क्यों है

हेरफेर जाँच सत्यापित करती है कि IV ने इच्छित मनोवैज्ञानिक अवस्था उत्पन्न की। इसके बिना शून्य परिणाम का अर्थ यह हो सकता है कि हेरफेर विफल रहा।

उत्तर

D · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.54

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 294/7 = 42

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 3² + 12² + (−30)² + 7² + 3² + 11² + (−6)² = 1268

मानक विचलन

s = √(1268/6) = 14.54

उत्तर

s = 14.54
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (100 − 60)/20 = 2

उत्तर

z = 2
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7209

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209

उत्तर

P = 0.7209
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 29.81

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 27.5, Var(X) = 98.75, σX = 9.937

रैखिक परिवर्तन

σY = |3|·9.937 = 29.81

उत्तर

σY = 29.81

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·27.5 + 1 = 83.5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

मानकीकृत करें

z = (29.5 − 32)/2.5 = −1

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9207

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

उत्तर

P = 0.9207
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 13.44 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 121.5 − 114.5 = 7

मानक त्रुटि

SE = √(18²/60 + 18²/60) = 3.286

त्रुटि सीमा

E = 1.96·3.286 = 6.441

अंतराल

7 ± 6.441 → [0.5588, 13.44]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 13.44 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −15.4 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (6·7.5² + 4·9.5²)/10 = 69.85
sp = 8.358

त्रुटि सीमा

E = 2.228·8.358·√(1/7 + 1/5) = 10.9

अंतराल

−4.5 ± 10.9 → [−15.4, 6.403]

उत्तर

निचली सीमा = −15.4 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −1.811

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(17²/100 + 11²/80) = √4.402 = 2.098

परीक्षण सांख्यिकी

z = (63 − 66.8)/2.098 = −1.811

उत्तर

z = −1.811

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 133

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 1.645)·7/2)² = 132.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 133

उत्तर

n = 133
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9402

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
Syy = Σ(y − ȳ)² = 178.8

निर्धारण गुणांक

r² = 82²/(40·178.8) = 0.9402

उत्तर

r² = 0.9402

y के विचरण का लगभग 94.02% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 1.8

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 83/5 = 16.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

समाश्रयण रेखा

b = 112/40 = 2.8
a = 16.6 − 2.8·6 = −0.2
ŷ = −0.2 + 2.8·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −0.2 + 2.8·3 = 8.2

अवशिष्ट

e = 10 − 8.2 = 1.8

उत्तर

e = 1.8

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 37.09

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28
प्लेसिबो: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (67 − 52)²/52 + (13 − 28)²/28 + (11 − 26)²/26 + (29 − 14)²/14
χ² = 37.09

उत्तर

χ² = 37.09

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 6

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 7 − 1 = 6

उत्तर

df = 6

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