मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

50 के माध्य के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल (confidence interval) 46 से 54 है। सबसे सटीक व्याख्या क्या है?

  1. Aप्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
  2. Bप्रतिदर्श के 95% व्यक्तिगत प्रतिभागियों ने इस माप पर 46 और 54 के बीच अंक प्राप्त किए
  3. Cपरिणाम सार्थक नहीं है
  4. D95% संभावना है कि प्रतिदर्श माध्य 50 है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

कई शोधकर्ता क्यों तर्क देते हैं कि p-मानों को प्रभाव-आकार और विश्वास्यता अंतराल के साथ बताया जाना चाहिए?

  1. Ap-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
  2. Bप्रभाव-आकार प्रतिदर्श आकार को सार्थकता के लिए अप्रासंगिक बना देते हैं
  3. Cp-मान परिकल्पना के सत्य होने की प्रायिकता दिखाते हैं
  4. Dविश्वास्यता अंतराल केवल गुणात्मक शोध में आवश्यक हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 22, 35, 39, 40, 38।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 500 और मानक विचलन 60 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 428 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 500σ = 60x = 428
z =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.2510.3520.0530.35μ = 1.5

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
n = 7, p = 0.6: P(X = 5) = ?k01234567

एक परीक्षा में 7 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 5 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 7p = 0.6k = 5
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
454550P = ?

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 454 और 550 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 550
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
380420460500540580620hनीचे 25%

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 25% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 490%, n = 50x̄E₂ = ?90%, n = 100

ज्ञात σ और 50 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 4 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 100 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 50E₁ = 4n₂ = 100
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 21σ = ?Us = 1.595%

21 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 1.5 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 20 के साथ χ² बंटन का 2.5% 9.591 से नीचे और 2.5% 34.17 से ऊपर है।

n = 21s = 1.5 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.06402.064

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 501.1 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 500x̄ = 501.1s = 8n = 25
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 23, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 23 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 5σ = 23zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy1393455487559571159xy510405060

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy14331630183320482258xy152030405060x = 19

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 19 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 19
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
सुधार हुआसुधार नहीं हुआकुलनई दवा661480प्लेसिबो253560कुल9149140

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1402 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

2 पंक्तियों और 11 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है

यह उत्तर क्यों है

95% CI जनसंख्या प्राचल के लिए संभावित मानों का एक परास देता है। बड़े प्रतिदर्शों से मिलने वाले संकरे अंतराल का अर्थ है अधिक परिशुद्ध अनुमान।

उत्तर

A · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है

यह उत्तर क्यों है

p-मान प्रतिदर्श आकार पर बहुत निर्भर करता है और केवल यह बताता है कि शून्य परिकल्पना के अंतर्गत आँकड़े कितने आश्चर्यजनक हैं। प्रभाव-आकार परिमाण दिखाते हैं और अंतराल परिशुद्धता।

उत्तर

A · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 8.042

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 220/6 = 36.67

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 9.333² + (−14.67)² + (−1.667)² + 2.333² + 3.333² + 1.333² = 323.3

मानक विचलन

s = √(323.3/5) = 8.042

उत्तर

s = 8.042
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1.2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (428 − 500)/60 = −1.2

उत्तर

z = −1.2
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.45

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.25 + 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.35 = 1.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.35 = 3.7

प्रसरण

Var(X) = 3.7 − 1.5² = 1.45

उत्तर

Var(X) = 1.45
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2613

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 5) = 21·0.65·0.42 = 21·0.07776·0.16 = 0.2613

उत्तर

P = 0.2613
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7693

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (454 − 500)/40 = −1.15
z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.25) − Φ(−1.15) = 0.8944 − 0.1251 = 0.7693

उत्तर

P = 0.7693
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 473 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.25

सारणी से z

z ≈ −0.67

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

उत्तर

x = 473 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 2.828

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(50/100) = 0.7071

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 4·0.7071 = 2.828

उत्तर

E₂ = 2.828
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 1.148 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 20·1.5² = 45

σ² की सीमाएँ

45/34.17 = 1.317
45/9.591 = 4.692

σ की सीमा

σ = √1.317 = 1.148 µm

उत्तर

σ = 1.148 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [1.148, 2.166] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.6875

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

परीक्षण सांख्यिकी

t = (501.1 − 500)/1.6 = 0.6875

उत्तर

t = 0.6875
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| < 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 213

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·23/5)² = 212.4

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 213

उत्तर

n = 213
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9811

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 303/6 = 50.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 143
Syy = Σ(y − ȳ)² = 303.5

सहसंबंध गुणांक

r = 143/√(70·303.5) = 0.9811

उत्तर

r = 0.9811
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 43.8

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 202/5 = 40.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

समाश्रयण रेखा

b = 136/40 = 3.4
a = 40.4 − 3.4·18 = −20.8
ŷ = −20.8 + 3.4·x

पूर्वानुमान

ŷ = −20.8 + 3.4·19 = 43.8

उत्तर

ŷ = 43.8
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 25.13

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 80·91/140 = 52, 80·49/140 = 28
प्लेसिबो: 60·91/140 = 39, 60·49/140 = 21

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (66 − 52)²/52 + (14 − 28)²/28 + (25 − 39)²/39 + (35 − 21)²/21
χ² = 25.13

उत्तर

χ² = 25.13

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 18.31

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

तालिका

χ²crit(df = 10, α = 0.05) = 18.307

उत्तर

χ²crit = 18.307

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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