मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रयोग में मानकीकृत निर्देशों का उपयोग क्यों किया जाता है?

Aशोधकर्ता प्रक्रिया को हर प्रतिभागी की आवश्यकताओं के अनुसार ढाल सकता है
Bताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले
Cताकि परिणाम सांख्यिकीय रूप से सार्थक हो जाएँ
Dताकि प्रतिभागी अपनी स्थितियाँ स्वयं चुन सकें

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

प्रयोग में स्थितियों के लिए यादृच्छिक आवंटन का मुख्य उद्देश्य क्या है?

Aप्रतिभागी चरों को समान रूप से बाँटना ताकि वे परिणामों को भ्रमित न करें
Bप्रतिदर्श को लक्षित जनसंख्या का प्रतिनिधि बनाना ताकि परिणाम सामान्यीकृत हो सकें
Cसुनिश्चित करना कि प्रतिभागी उद्देश्य न जानें
Dप्रतिक्रिया दर बढ़ाना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 25, 28, 37, 22, 32, 29, 54।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 190 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 10x = 190

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.15, 0.35

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €10 है। आप प्रायिकता 0.15 से €20 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €500; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €10€20: p = 0.15€500: p = 0.01

E(G) = €

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 16 का कुल द्रव्यमान 635.2 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16> 635.2 g

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

धावक A का चक्कर समय X और धावक B का चक्कर समय Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 52 s और मानक विचलन 4 s है, Y का माध्य 48 s और मानक विचलन 3 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 108.5 और मानक विचलन s = 3.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10x̄ = 108.5s = 3.599%t(9) = 3.25

निचली सीमा =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 5 प्लॉट, माध्य उपज 52.5 kg, मानक विचलन 6.5 kg। प्लॉट समूह 2: 7 प्लॉट, माध्य 43.5 kg, मानक विचलन 2.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 5x̄₁ = 52.5s₁ = 6.5n₂ = 7x̄₂ = 43.5s₂ = 2.599%t(10) = 3.169

ऊपरी सीमा = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 9 छात्र, माध्य अंक 38, मानक विचलन 3। समूह 2: 17 छात्र, माध्य अंक 29.4, मानक विचलन 10। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 9x̄₁ = 38s₁ = 3n₂ = 17x̄₂ = 29.4s₂ = 10

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ > 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 25 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 2.5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 80.55 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 80.55σ = 2.5n = 25α = 0.10

1 − β = %

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 1.5

ŷ =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “छात्र, साइकिल” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 83स्तंभ योग = 46N = 171

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · ताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले

यह उत्तर क्यों है

मानकीकरण प्रक्रिया में भिन्नता को एक बाह्य चर के रूप में हटाता है और अध्ययन को दोहराने योग्य बनाता है।

उत्तर

B · ताकि सभी प्रतिभागियों को एक ही जानकारी एक ही तरीके से मिले

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · प्रतिभागी चरों को समान रूप से बाँटना ताकि वे परिणामों को भ्रमित न करें

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक आवंटन स्थितियों के बीच व्यक्तिगत अंतरों को संतुलित करता है और कारण-संबंधी निष्कर्षों का समर्थन करता है। यादृच्छिक प्रतिचयन जनसंख्या पर सामान्यीकरण से संबंधित है।

उत्तर

A · प्रतिभागी चरों को समान रूप से बाँटना ताकि वे परिणामों को भ्रमित न करें

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 10.66

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 227/7 = 32.43

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−7.429)² + (−4.429)² + 4.571² + (−10.43)² + (−0.4286)² + (−3.429)² + 21.57² = 681.7

मानक विचलन

s = √(681.7/6) = 10.66

उत्तर

s = 10.66

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 2

मानकीकृत करें

z = (190 − 170)/10 = 2

उत्तर

z = 2

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.548

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.3 + 1·0.2 + 2·0.15 + 3·0.35 = 1.55

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.2 + 4·0.15 + 9·0.35 = 3.95

प्रसरण

Var(X) = 3.95 − 1.55² = 1.548

उत्तर

Var(X) = 1.548

6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −2 €

शुद्ध परिणाम

G: 10 (p = 0.15), 490 (p = 0.01), −10 (p = 0.84)

प्रत्याशित मान

E(G) = 10·0.15 + 490·0.01 − 10·0.84 = −2 €

उत्तर

E(G) = −2 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 640 g, σ_T = 1.2·√16 = 4.8 g

मानकीकृत करें

z = (635.2 − 640)/4.8 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

अंतर का बंटन

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

मानकीकृत करें

z = (0 − 4)/5 = −0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 104.9

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 9, t = 3.25

त्रुटि सीमा

E = 3.25·3.5/√10 = 3.597

अंतराल

108.5 ± 3.597 → [104.9, 112.1]

उत्तर

निचली सीमा = 104.9

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 17.43 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (4·6.5² + 6·2.5²)/10 = 20.65

s_p = 4.544

त्रुटि सीमा

E = 3.169·4.544·√(1/5 + 1/7) = 8.432

अंतराल

9 ± 8.432 → [0.5678, 17.43]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 17.43 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.499

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

s_p² = (8·3² + 16·10²)/24 = 69.67

s_p = 8.347

मानक त्रुटि

SE = 8.347·√(1/9 + 1/17) = 3.441

परीक्षण सांख्यिकी

t = (38 − 29.4)/3.441 = 2.499

उत्तर

t = 2.499

df = 24 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.064 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 42.78 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 2.5/√25 = 0.5

x̄_c = 80 + 1.282·0.5 = 80.64

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (80.64 − 80.55)/0.5 = 0.182

शक्ति

शक्ति = P(Z > 0.182) = 42.78%

1 − β = 42.78%

उत्तर

1 − β = 42.78%

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9614

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 51/5 = 10.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 134.8

निर्धारण गुणांक

r² = 72²/(40·134.8) = 0.9614

उत्तर

r² = 0.9614

y के विचरण का लगभग 96.14% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 23.75

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 109/5 = 21.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

समाश्रयण रेखा

b = −13/10 = −1.3

a = 21.8 − (−1.3)·3 = 25.7

ŷ = 25.7 − 1.3·x

पूर्वानुमान

ŷ = 25.7 + (−1.3)·1.5 = 23.75

उत्तर

ŷ = 23.75

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 22.33

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 83·46/171 = 22.33

उत्तर

E = 22.33

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 11.67

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 48, 12

लाइन 2: 80, 20

लाइन 3: 48, 12

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (39 − 48)²/48 + (21 − 12)²/12 + (85 − 80)²/80 + (15 − 20)²/20 + (52 − 48)²/48 + (8 − 12)²/12

χ² = 11.67

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 5.991

11.67 > 5.991

उत्तर

χ² = 11.67

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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