मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक अध्ययन पूर्व-पंजीकृत (preregistered) है। इसका अर्थ है कि:

  1. Aपरिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं
  2. Bअध्ययन पहले ही प्रकाशित हो चुका है
  3. Cप्रकाशन से पहले परिणामों की जाँच और अनुमोदन एक दूसरे स्वतंत्र सांख्यिकीविद् ने किया
  4. Dप्रतिभागी अपनी सहमति ऑनलाइन दर्ज करते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

गुणात्मक शोध में आत्म-परावर्तन (reflexivity) का अर्थ है कि शोधकर्ता:

  1. Aविश्वसनीयता जाँचने के लिए अध्ययन दोहराता है
  2. Bविषयों को संख्यात्मक आँकड़ों में बदलता है
  3. Cपक्षपात हटाने के लिए यादृच्छिक प्रतिदर्श का उपयोग करता है
  4. Dइस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1015202530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 36, 60, 10, 18, 48।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 55 से कम है?

μ = 50σ = 5x = 55
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.220.130.340.0550.35μ = 3.25

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.1, 0.3, 0.05, 0.35
σ =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.310.0520.2530.3540.05μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 20। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.25, 0.35, 0.05Y = 5X + 20
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.7881

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.7881 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.7881
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.03 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.03 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 7, s = 1.5LU = ?x̄ = 103E99%

7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 103 और मानक विचलन s = 1.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 7x̄ = 103s = 1.599%t(6) = 3.707
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0599%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.05 हो?

p = 0.5E = 0.0599%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.9901.99

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 199 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 199s = 10n = 81
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −2.57602.576

36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 99.3 है। समष्टि मानक विचलन 4 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 99.3σ = 4n = 3699%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy127227322422517xy242025

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy3545677869961110713128xy51050100ŷ = 118

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 118 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 118
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र302961120कर्मचारी20411980कुल507080200

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुलसंयंत्र A213960संयंत्र B204060संयंत्र C312960कुल72108180dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1803 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · परिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं

यह उत्तर क्यों है

पूर्व-पंजीकरण पुष्टिकारी विश्लेषणों को अन्वेषणात्मक विश्लेषणों से अलग करता है और p-hacking तथा HARKing जैसी प्रथाओं को घटाता है।

उत्तर

A · परिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

आत्म-परावर्तन आँकड़ा संग्रह और व्याख्या पर शोधकर्ता के प्रभाव को स्वीकार करता है, और गुणात्मक कार्य में एक प्रमुख गुणवत्ता मानदंड है।

उत्तर

D · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 20.66

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 172/5 = 34.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 1.6² + 25.6² + (−24.4)² + (−16.4)² + 13.6² = 1707

मानक विचलन

s = √(1707/4) = 20.66

उत्तर

s = 20.66
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8413

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.512

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.2 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.05 + 5·0.35 = 3.25

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.05 + 25·0.35 = 12.85

प्रसरण

Var(X) = 12.85 − 3.25² = 2.287
σ = √2.287 = 1.512

उत्तर

σ = 1.512
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 6.633

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.8, Var(X) = 1.76, σX = 1.327

रैखिक परिवर्तन

σY = |5|·1.327 = 6.633

उत्तर

σY = 6.633

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·1.8 + 20 = 29।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −0.8

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.7881 = 0.2119

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.2119 खोजें और z पढ़ें।

z = −0.80

उत्तर

z = −0.80
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8849

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

उत्तर

P = 0.8849
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 105.1

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 6, t = 3.707

त्रुटि सीमा

E = 3.707·1.5/√7 = 2.102

अंतराल

103 ± 2.102 → [100.9, 105.1]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 105.1
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 2.576²·0.5·0.5/0.05² = 663.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 664

उत्तर

n = 664
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −0.9

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

परीक्षण सांख्यिकी

t = (199 − 200)/1.111 = −0.9

उत्तर

t = −0.9
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| < 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 101

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 2.576·4/√36 = 1.717

अंतराल सीमा

U = 99.3 + 1.717 = 101

उत्तर

U = 101
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8929

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Syy = Σ(y − ȳ)² = 70

निर्धारण गुणांक

r² = −25²/(10·70) = 0.8929

उत्तर

r² = 0.8929

y के विचरण का लगभग 89.29% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 11.97

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 538/6 = 89.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 500

समाश्रयण रेखा

b = 500/70 = 7.143
a = 89.67 − 7.143·8 = 32.52
ŷ = 32.52 + 7.143·x

x के लिए हल करें

x = (118 − 32.52)/7.143 = 11.97

उत्तर

x = 11.97
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 18.86

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 120·50/200 = 30, 120·70/200 = 42, 120·80/200 = 48
कर्मचारी: 80·50/200 = 20, 80·70/200 = 28, 80·80/200 = 32

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (30 − 30)²/30 + (29 − 42)²/42 + (61 − 48)²/48 + (20 − 20)²/20 + (41 − 28)²/28 + (19 − 32)²/32
χ² = 18.86

उत्तर

χ² = 18.86

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 5.139

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

संयंत्र A: 24, 36
संयंत्र B: 24, 36
संयंत्र C: 24, 36

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (21 − 24)²/24 + (39 − 36)²/36 + (20 − 24)²/24 + (40 − 36)²/36 + (31 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36
χ² = 5.139

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
5.139 < 9.210

उत्तर

χ² = 5.139

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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