मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

15-मद चिंता स्केल के लिए 0.88 का क्रॉनबाख़ अल्फ़ा क्या दर्शाता है?

  1. Aस्केल का चिंता पर सार्थक प्रभाव है
  2. Bस्केल भविष्य की चिंता की अच्छी भविष्यवाणी करता है
  3. Cमदों की अच्छी आंतरिक संगति
  4. Dअंक छह महीनों तक स्थिर रहते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

व्याख्यात्मक परिघटनात्मक विश्लेषण (IPA) का मुख्य उद्देश्य क्या है?

  1. Aपाठों में शब्दों की आवृत्ति गिनना
  2. Bप्रतिक्रिया समय को सटीक रूप से मापना
  3. Cबड़े प्रतिदर्शों के साथ कारण-संबंधी परिकल्पनाओं का परीक्षण
  4. Dयह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 42, 22, 17, 33, 29, 18, 11।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 460 से अधिक है?

μ = 500σ = 40x = 460
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 11, p = 0.25: P(X = 5) = ?k01234567891011

एक परीक्षा में 11 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.25 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 5 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.25k = 5
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
438572P = ?

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 438 और 572 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x1 = 438x2 = 572
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.04 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 12, s = 19.5LU = ?x̄ = 24.5E95%

12 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 24.5 और मानक विचलन s = 19.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 12x̄ = 24.5s = 19.595%t(11) = 2.201
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

समष्टि मानक विचलन 5 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?

σ = 5E = 195%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.2282.228t = ?df = 10

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 5 छात्र, माध्य अंक 93, मानक विचलन 11.5। समूह 2: 7 छात्र, माध्य अंक 98.2, मानक विचलन 4.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 5x̄₁ = 93s₁ = 11.5n₂ = 7x̄₂ = 98.2s₂ = 4.5
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −2.57602.576

36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 120.3 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 120.3σ = 5n = 3699%
L =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy361573779985119713107xy5106080100

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy147247357466572xy24506070x = 1.5

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 1.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष2179100महिलाएँ4575120कुल66154220

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2202 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुललाइन 1206080लाइन 2166480लाइन 3364480कुल72168240dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · मदों की अच्छी आंतरिक संगति

यह उत्तर क्यों है

क्रॉनबाख़ अल्फ़ा आंतरिक संगति का अनुमान लगाता है; लगभग 0.7 या उससे ऊपर के मान आमतौर पर स्वीकार्य माने जाते हैं। यह अपने आप में वैधता नहीं दिखाता।

उत्तर

C · मदों की अच्छी आंतरिक संगति
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं

यह उत्तर क्यों है

IPA छोटे, समरूप प्रतिदर्शों का गहराई से अध्ययन करता है, यह जाँचते हुए कि प्रतिभागी महत्वपूर्ण अनुभवों की व्याख्या कैसे करते हैं, और शोधकर्ता उनके अर्थ-निर्माण की व्याख्या करता है।

उत्तर

D · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 10.69

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 172/7 = 24.57

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 17.43² + (−2.571)² + (−7.571)² + 8.429² + 4.429² + (−6.571)² + (−13.57)² = 685.7

मानक विचलन

s = √(685.7/6) = 10.69

उत्तर

s = 10.69
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8413

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.0803

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 5) = 462·0.255·0.756 = 462·0.0009766·0.178 = 0.0803

उत्तर

P = 0.0803
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9035

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (438 − 500)/40 = −1.55
z₂ = (572 − 500)/40 = 1.8

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.8) − Φ(−1.55) = 0.9641 − 0.06057 = 0.9035

उत्तर

P = 0.9035
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9868

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

उत्तर

P = 0.9868
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 36.89

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 11, t = 2.201

त्रुटि सीमा

E = 2.201·19.5/√12 = 12.39

अंतराल

24.5 ± 12.39 → [12.11, 36.89]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 36.89
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 97

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·5/1)² = 96.04

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 97

उत्तर

n = 97
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.101

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (4·11.5² + 6·4.5²)/10 = 65.05
sp = 8.065

मानक त्रुटि

SE = 8.065·√(1/5 + 1/7) = 4.723

परीक्षण सांख्यिकी

t = (93 − 98.2)/4.723 = −1.101

उत्तर

t = −1.101

df = 10 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.228 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 118.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 2.576·5/√36 = 2.147

अंतराल सीमा

L = 120.3 − 2.147 = 118.2

उत्तर

L = 118.2
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9934

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 502/6 = 83.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 308
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1373

सहसंबंध गुणांक

r = 308/√(70·1373) = 0.9934

उत्तर

r = 0.9934
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 47.45

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 289/5 = 57.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69

समाश्रयण रेखा

b = 69/10 = 6.9
a = 57.8 − 6.9·3 = 37.1
ŷ = 37.1 + 6.9·x

पूर्वानुमान

ŷ = 37.1 + 6.9·1.5 = 47.45

उत्तर

ŷ = 47.45
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 7.071

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 100·66/220 = 30, 100·154/220 = 70
महिलाएँ: 120·66/220 = 36, 120·154/220 = 84

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (21 − 30)²/30 + (79 − 70)²/70 + (45 − 36)²/36 + (75 − 84)²/84
χ² = 7.071

उत्तर

χ² = 7.071

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 13.33

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 24, 56
लाइन 2: 24, 56
लाइन 3: 24, 56

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (20 − 24)²/24 + (60 − 56)²/56 + (16 − 24)²/24 + (64 − 56)²/56 + (36 − 24)²/24 + (44 − 56)²/56
χ² = 13.33

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
13.33 > 9.210

उत्तर

χ² = 13.33

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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