मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक छात्र माध्य 100 और मानक विचलन 15 वाले परीक्षण पर 130 अंक प्राप्त करता है। z-अंक क्या है?

  1. A0.5
  2. B3.0
  3. C1.5
  4. D2.0
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता उदास फ़िल्म दिखाकर मनोदशा में हेरफेर करता है, फिर मुख्य कार्य से पहले प्रतिभागियों से पूछता है कि वे कितना उदास महसूस करते हैं। यह रेटिंग क्यों शामिल की गई है?

  1. Aहेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया
  2. Bअध्ययन के मुख्य आश्रित चर के रूप में
  3. Cप्रतिभागियों को उद्देश्यों के बारे में डीब्रीफ़ करने के लिए
  4. Dस्थितियों के क्रम का प्रति-संतुलन करने के लिए
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
20253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 53, 34, 41, 44, 16, 47, 27।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 85 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 20x = 85
z =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.0510.220.330.340.15μ = 2.3

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.2, 0.3, 0.3, 0.15
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 7, p = 0.2: P(X = 4) = ?k01234567

एक परीक्षा में 7 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 7p = 0.2k = 4
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
240259.25P = ?

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 240 और 259.25 g के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 250σ = 5x1 = 240x2 = 259.25
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
4 s0X − Y?

धावक A का चक्कर समय X और धावक B का चक्कर समय Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 52 s और मानक विचलन 4 s है, Y का माध्य 48 s और मानक विचलन 3 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 9, s = 17L = ?Ux̄ = 85.5E99%

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 85.5 और मानक विचलन s = 17 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 85.5s = 1799%t(8) = 3.355
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.6, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0490%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.6 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.04 हो?

p ≈ 0.6E = 0.0490%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.06402.064

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 51.92 और प्रतिदर्श मानक विचलन 4 है। H₀: μ = 50 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 50x̄ = 51.92s = 4n = 25
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो? मानक विचलन 4 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 4E = 390%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy16581853207122732488xy206080

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy156258368476579xy24607080x = 1.5

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 1.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट19313080रात की शिफ़्ट553040कुल243660120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

2 पंक्तियों और 4 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · 2.0

यह उत्तर क्यों है

(130 − 100) / 15 = 2। अंक माध्य से दो मानक विचलन ऊपर है, लगभग 97–98% लोगों से अधिक।

उत्तर

D · 2.0
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया

यह उत्तर क्यों है

हेरफेर जाँच सत्यापित करती है कि IV ने इच्छित मनोवैज्ञानिक अवस्था उत्पन्न की। इसके बिना शून्य परिणाम का अर्थ यह हो सकता है कि हेरफेर विफल रहा।

उत्तर

A · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.71

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 262/7 = 37.43

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 15.57² + (−3.429)² + 3.571² + 6.571² + (−21.43)² + 9.571² + (−10.43)² = 969.7

मानक विचलन

s = √(969.7/6) = 12.71

उत्तर

s = 12.71
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1.25

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (85 − 60)/20 = 1.25

उत्तर

z = 1.25
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.1

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.05 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.15 = 2.3

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.15 = 6.5

प्रसरण

Var(X) = 6.5 − 2.3² = 1.21
σ = √1.21 = 1.1

उत्तर

σ = 1.1
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.02867

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 35·0.24·0.83 = 35·0.0016·0.512 = 0.02867

उत्तर

P = 0.02867
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9451

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (240 − 250)/5 = −2
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451

उत्तर

P = 0.9451
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

मानकीकृत करें

z = (0 − 4)/5 = −0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 66.49

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 3.355

त्रुटि सीमा

E = 3.355·17/√9 = 19.01

अंतराल

85.5 ± 19.01 → [66.49, 104.5]

उत्तर

निचली सीमा = 66.49
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 406

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.6·0.4/0.04² = 405.9

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 406

उत्तर

n = 406
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.4

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8

परीक्षण सांख्यिकी

t = (51.92 − 50)/0.8 = 2.4

उत्तर

t = 2.4
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| > 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 5

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.645·4/3)² = 4.811

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 5

उत्तर

n = 5
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9194

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 343/5 = 68.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 757.2

सहसंबंध गुणांक

r = 160/√(40·757.2) = 0.9194

उत्तर

r = 0.9194
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 57.8

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 337/5 = 67.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

समाश्रयण रेखा

b = 64/10 = 6.4
a = 67.4 − 6.4·3 = 48.2
ŷ = 48.2 + 6.4·x

पूर्वानुमान

ŷ = 48.2 + 6.4·1.5 = 57.8

उत्तर

ŷ = 57.8
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 15.31

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40
रात की शिफ़्ट: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (19 − 16)²/16 + (31 − 24)²/24 + (30 − 40)²/40 + (5 − 8)²/8 + (5 − 12)²/12 + (30 − 20)²/20
χ² = 15.31

उत्तर

χ² = 15.31

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 11.35

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

तालिका

χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345

उत्तर

χ²crit = 11.345

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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