मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

माँग विशेषताएँ (डिमांड कैरेक्टरिस्टिक्स) क्या हैं?

Aकिसी परीक्षण की सांख्यिकीय आवश्यकताएँ
Bअध्ययन शुरू होने से पहले नैतिकता समिति द्वारा रखी जाने वाली औपचारिक माँगें
Cऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं
Dप्रतिदर्श की विशेषताएँ

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता एक आँकड़ा समुच्चय पर 20 विश्लेषण करता है और केवल p < 0.05 वाला एक प्रस्तुत करता है। इस प्रथा को क्या कहते हैं?

AP-hacking
Bपूर्व-पंजीकरण
Cत्रिकोणीकरण (triangulation)
Dप्रति-संतुलन

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 52, 14, 11, 53, 56।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 160.4 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 12x = 160.4

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.35, 0.05, 0.25

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

5 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.1

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 93.25 और 112.75 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 100σ = 15x₁ = 93.25x₂ = 112.75

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 97.5% आते हैं (97.5वाँ शततमक)।

μ = 250σ = 5P = 97.5%

x = g

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 100 फ़ोन, माध्य 131 h, ज्ञात मानक विचलन 10 h। मॉडल 2: 100 फ़ोन, माध्य 117.5 h, ज्ञात मानक विचलन 20 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 100x̄₁ = 131 hσ₁ = 10 hn₂ = 100x̄₂ = 117.5 hσ₂ = 20 h90%

E = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 13 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 13E = 2.595%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 100 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 142 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 14 mm है। लाइन 2: 40 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 136.9 mm, ज्ञात मानक विचलन 8 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 100x̄₁ = 142 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 40x̄₂ = 136.9 mmσ₂ = 8 mm

z =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 65.6 है। समष्टि मानक विचलन 15 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 65.6σ = 15n = 1690%

L =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3, 5) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(3, 5)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 8 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 8

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · ऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं

यह उत्तर क्यों है

जब प्रतिभागी परिकल्पना समझ जाते हैं तो वे उसे पुष्ट करने या बिगाड़ने के लिए व्यवहार कर सकते हैं, जिससे वैधता को ख़तरा होता है। छल और अंध प्रक्रियाएँ इसे घटाती हैं।

उत्तर

C · ऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · P-hacking

यह उत्तर क्यों है

P-hacking सार्थकता पाने के लिए विश्लेषण के लचीलेपन का लाभ उठाता है, जिससे मिथ्या धनात्मक दर 5% से बहुत ऊपर चली जाती है। पूर्व-पंजीकरण और पारदर्शी रिपोर्टिंग इसे घटाते हैं।

उत्तर

A · P-hacking

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 22.62

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 186/5 = 37.2

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 14.8² + (−23.2)² + (−26.2)² + 15.8² + 18.8² = 2047

मानक विचलन

s = √(2047/4) = 22.62

उत्तर

s = 22.62

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.8

मानकीकृत करें

z = (160.4 − 170)/12 = −0.8

उत्तर

z = −0.8

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 136

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.35 + 20·0.35 + 30·0.05 + 40·0.25 = 22

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.35 + 900·0.05 + 1600·0.25 = 620

प्रसरण

Var(X) = 620 − 22² = 136

उत्तर

Var(X) = 136

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.9185

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.9⁵ = 0.5905

P(X = 1) = 5·0.1·0.9⁴ = 0.3281

जोड़ें

P = 0.5905 + 0.3281 = 0.9185

उत्तर

P = 0.9185

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.476

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (93.25 − 100)/15 = −0.45

z₂ = (112.75 − 100)/15 = 0.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.85) − Φ(−0.45) = 0.8023 − 0.3264 = 0.476

उत्तर

P = 0.476

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 259.8 g

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

वापस x पर

x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g

उत्तर

x = 259.8 g

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 3.678 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 131 − 117.5 = 13.5

मानक त्रुटि

SE = √(10²/100 + 20²/100) = 2.236

त्रुटि सीमा

E = 1.645·2.236 = 3.678

उत्तर

E = 3.678 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 104

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·13/2.5)² = 103.9

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 104

उत्तर

n = 104

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 2.703

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(14²/100 + 8²/40) = √3.56 = 1.887

परीक्षण सांख्यिकी

z = (142 − 136.9)/1.887 = 2.703

उत्तर

z = 2.703

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 59.43

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·15/√16 = 6.169

अंतराल सीमा

L = 65.6 − 6.169 = 59.43

उत्तर

L = 59.43

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9835

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 107/6 = 17.83

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 162.8

सहसंबंध गुणांक

r = −52.5/√(17.5·162.8) = −0.9835

उत्तर

r = −0.9835

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −4.15

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 69/5 = 13.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

समाश्रयण रेखा

b = 62/40 = 1.55

a = 13.8 − 1.55·6 = 4.5

ŷ = 4.5 + 1.55·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 4.5 + 1.55·3 = 9.15

अवशिष्ट

e = 5 − 9.15 = −4.15

उत्तर

e = −4.15

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.88

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

शहरी: 100·100/200 = 50, 100·50/200 = 25, 100·50/200 = 25

ग्रामीण: 100·100/200 = 50, 100·50/200 = 25, 100·50/200 = 25

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (52 − 50)²/50 + (28 − 25)²/25 + (20 − 25)²/25 + (48 − 50)²/50 + (22 − 25)²/25 + (30 − 25)²/25

χ² = 2.88

उत्तर

χ² = 2.88

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 7

स्वातंत्र्य कोटि

df = 8 − 1 = 7

उत्तर

df = 7

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