मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

आंतरिक वैधता (internal validity) किसे संदर्भित करती है?

  1. Aक्या परीक्षण समय के साथ समान परिणाम देता है
  2. Bक्या प्रतिभागियों को अध्ययन रोचक लगा
  3. Cक्या निष्कर्ष अध्ययन से परे अन्य जनसंख्याओं, परिस्थितियों और समयों पर सामान्यीकृत होते हैं
  4. Dक्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

व्यायाम अवसाद घटाता है, और यह प्रभाव इसलिए होता है क्योंकि व्यायाम नींद सुधारता है, जो बदले में अवसाद घटाती है। नींद का सबसे अच्छा वर्णन क्या है?

  1. Aनियंत्रण चर
  2. Bबाह्य चर
  3. Cसंयमक (moderator)
  4. Dमध्यस्थ (mediator)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
10152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 56, 10, 48, 49, 37, 46, 29।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 452 से कम है?

μ = 500σ = 40x = 452
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)100.3200.1300.25400.35μ = 26.5

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.35
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 7, p = 0.7: P(X = 3) = ?k01234567

एक परीक्षा में 7 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 3 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 7p = 0.7k = 3
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
105 s98.6 sX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 60 s और मानक विचलन 5 s है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 45 s और मानक विचलन 4 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 98.6 s से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 98.6 s
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 32x = ?20%

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 20% आते हैं (20वाँ शततमक)।

μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 11.395%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 200

ज्ञात σ और 50 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 11.3 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 200 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

95%n₁ = 50E₁ = 11.3n₂ = 200
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 30, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

समष्टि मानक विचलन 30 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 5 हो?

σ = 30E = 590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.4472.447t = ?df = 6

7 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −7.07 और अंतरों का मानक विचलन 5.5 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 7d̄ = −7.07sd = 5.5
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.64501.645

81 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 99.3 है। समष्टि मानक विचलन 4 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 99.3σ = 4n = 8190%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy3415537609631172xy51040506070

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy125219316417513610xy24610152025x = 1.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (1.5, 27) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(1.5, 27)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
खाँसीखाँसी नहींकुलधूम्रपान करने वाले582280धूम्रपान न करने वाले5941100कुल11763180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 7 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 7
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ

यह उत्तर क्यों है

उच्च आंतरिक वैधता का अर्थ है कि वैकल्पिक व्याख्याएँ, जैसे भ्रामक चर, माँग विशेषताएँ या प्रयोगकर्ता पक्षपात, ख़ारिज कर दी गई हैं। बाह्य वैधता सामान्यीकरण से संबंधित है।

उत्तर

D · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · मध्यस्थ (mediator)

यह उत्तर क्यों है

मध्यस्थ भविष्यवक्ता और परिणाम के बीच कारण-मार्ग पर स्थित होता है, यह समझाते हुए कि प्रभाव कैसे या क्यों होता है।

उत्तर

D · मध्यस्थ (mediator)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.62

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 275/7 = 39.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 16.71² + (−29.29)² + 8.714² + 9.714² + (−2.286)² + 6.714² + (−10.29)² = 1463

मानक विचलन

s = √(1463/6) = 15.62

उत्तर

s = 15.62
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1151

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151

उत्तर

P = 0.1151
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 12.36

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.3 + 20·0.1 + 30·0.25 + 40·0.35 = 26.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.1 + 900·0.25 + 1600·0.35 = 855

प्रसरण

Var(X) = 855 − 26.5² = 152.8
σ = √152.8 = 12.36

उत्तर

σ = 12.36
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.09724

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 3) = 35·0.73·0.34 = 35·0.343·0.0081 = 0.09724

उत्तर

P = 0.09724
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

मानकीकृत करें

z = (98.6 − 105)/6.403 = −1

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 26.95 min

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

वापस x पर

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

उत्तर

x = 26.95 min
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 5.65

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(50/200) = 0.5

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 11.3·0.5 = 5.65

उत्तर

E₂ = 5.65
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 98

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·30/5)² = 97.42

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 98

उत्तर

n = 98
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −3.401

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 5.5/√7 = 2.079

परीक्षण सांख्यिकी

t = −7.07/2.079 = −3.401

उत्तर

t = −3.401

df = 6 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.447 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 100

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·4/√81 = 0.7311

अंतराल सीमा

U = 99.3 + 0.7311 = 100

उत्तर

U = 100
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9809

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 289/5 = 57.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 538.8

सहसंबंध गुणांक

r = 144/√(40·538.8) = 0.9809

उत्तर

r = 0.9809
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 5.076

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 100/6 = 16.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

समाश्रयण रेखा

b = −46/17.5 = −2.629
a = 16.67 − (−2.629)·3.5 = 25.87
ŷ = 25.87 − 2.629·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 25.87 + (−2.629)·1.5 = 21.92

अवशिष्ट

e = 27 − 21.92 = 5.076

उत्तर

e = 5.076

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 3.56

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 80·117/180 = 52, 80·63/180 = 28
धूम्रपान न करने वाले: 100·117/180 = 65, 100·63/180 = 35

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (58 − 52)²/52 + (22 − 28)²/28 + (59 − 65)²/65 + (41 − 35)²/35
χ² = 3.56

उत्तर

χ² = 3.56

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 5

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 7 − 1 − 1 = 5

उत्तर

df = 5

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