मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

आंतरिक वैधता (internal validity) किसे संदर्भित करती है?

Aक्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ
Bक्या परीक्षण समय के साथ समान परिणाम देता है
Cक्या निष्कर्ष अध्ययन से परे अन्य जनसंख्याओं, परिस्थितियों और समयों पर सामान्यीकृत होते हैं
Dक्या प्रतिभागियों को अध्ययन रोचक लगा

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता तीन या अधिक समूह-माध्यों की तुलना करती है। कई t-परीक्षणों के बजाय एक-मार्गी ANOVA क्यों उपयोग होता है?

At-परीक्षण 100 से बड़ी संख्याएँ नहीं संभाल सकते
Bt-परीक्षणों को गुणात्मक आँकड़े चाहिए
Cकई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं
DANOVA हमेशा समतुल्य t-परीक्षणों के समूह से बड़े प्रभाव पाता है

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 40, 43, 46, 20, 40, 22, 53।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 108 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 8x = 108

z =

5.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 8 लाल और 4 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

8 / 4

P =

6.प्रायिकताकठिन

6 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.5

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0559 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0559

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।

μ = 65σ = 10P = 75%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

12 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 89 और मानक विचलन s = 12 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 12x̄ = 89s = 1299%t(11) = 3.106

ऊपरी सीमा =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

16 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 10 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 15 के साथ χ² बंटन का 2.5% 6.262 से नीचे और 2.5% 27.488 से ऊपर है।

n = 16s = 10 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 11 छात्र, माध्य अंक 21.5, मानक विचलन 8। समूह 2: 20 छात्र, माध्य अंक 16.8, मानक विचलन 10.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 11x̄₁ = 21.5s₁ = 8n₂ = 20x̄₂ = 16.8s₂ = 10.5

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 10E = 395%

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 27Σy = 265Σx² = 139Σy² = 11799Σxy = 1232

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (1.5, 31) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(1.5, 31)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 3003 × 2α = 0.05

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ

यह उत्तर क्यों है

उच्च आंतरिक वैधता का अर्थ है कि वैकल्पिक व्याख्याएँ, जैसे भ्रामक चर, माँग विशेषताएँ या प्रयोगकर्ता पक्षपात, ख़ारिज कर दी गई हैं। बाह्य वैधता सामान्यीकरण से संबंधित है।

उत्तर

A · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं

यह उत्तर क्यों है

कई युग्मवार परीक्षण मिथ्या धनात्मक की संभावना गुणा कर देते हैं। ANOVA सभी समूहों का एक साथ परीक्षण करता है और उसके बाद संशोधित पोस्ट-हॉक परीक्षण किए जाते हैं।

उत्तर

C · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.26

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 264/7 = 37.71

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 2.286² + 5.286² + 8.286² + (−17.71)² + 2.286² + (−15.71)² + 15.29² = 901.4

मानक विचलन

s = √(901.4/6) = 12.26

उत्तर

s = 12.26

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1

मानकीकृत करें

z = (108 − 100)/8 = 1

उत्तर

z = 1

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.4242

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242

उत्तर

P = 0.4242

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1094

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.5⁶ = 0.01563

P(X = 1) = 6·0.5·0.5⁵ = 0.09375

जोड़ें

P = 0.01563 + 0.09375 = 0.1094

उत्तर

P = 0.1094

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.59

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0559 = 0.9441

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9441 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.59

उत्तर

z = 1.59

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 71.75 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

वापस x पर

x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 अंक

उत्तर

x = 71.75 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 99.76

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 11, t = 3.106

त्रुटि सीमा

E = 3.106·12/√12 = 10.76

अंतराल

89 ± 10.76 → [78.24, 99.76]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 99.76

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 7.387 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 15·10² = 1500

σ² की सीमाएँ

1500/27.488 = 54.57

1500/6.262 = 239.5

σ की सीमा

σ = √54.57 = 7.387 µm

उत्तर

σ = 7.387 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [7.387, 15.48] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.289

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

s_p² = (10·8² + 19·10.5²)/29 = 94.3

s_p = 9.711

मानक त्रुटि

SE = 9.711·√(1/11 + 1/20) = 3.645

परीक्षण सांख्यिकी

t = (21.5 − 16.8)/3.645 = 1.289

उत्तर

t = 1.289

df = 29 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.045 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 43

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.96·10/3)² = 42.68

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 43

उत्तर

n = 43

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9696

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 1232 − 27·265/6 = 39.5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17.5

S_yy = 11799 − 265²/6 = 94.83

सहसंबंध गुणांक

r = 39.5/√(17.5·94.83) = 0.9696

उत्तर

r = 0.9696

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 2.7

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 125/5 = 25

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

समाश्रयण रेखा

b = −22/10 = −2.2

a = 25 − (−2.2)·3 = 31.6

ŷ = 31.6 − 2.2·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 31.6 + (−2.2)·1.5 = 28.3

अवशिष्ट

e = 31 − 28.3 = 2.7

उत्तर

e = 2.7

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.1181

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 60·27/180 = 9, 60·72/180 = 24, 60·81/180 = 27

रात की शिफ़्ट: 120·27/180 = 18, 120·72/180 = 48, 120·81/180 = 54

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (9 − 9)²/9 + (25 − 24)²/24 + (26 − 27)²/27 + (18 − 18)²/18 + (47 − 48)²/48 + (55 − 54)²/54

χ² = 0.1181

उत्तर

χ² = 0.1181

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 12.25

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 40, 60

लाइन 2: 40, 60

लाइन 3: 40, 60

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (51 − 40)²/40 + (49 − 60)²/60 + (27 − 40)²/40 + (73 − 60)²/60 + (42 − 40)²/40 + (58 − 60)²/60

χ² = 12.25

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 5.991

12.25 > 5.991

उत्तर

χ² = 12.25

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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