मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

विशेषज्ञ जाँचते हैं कि गणित परीक्षा के मद पाठ्यक्रम के सभी विषयों को कवर करते हैं या नहीं। यह किसका आकलन है?

Aपारिस्थितिक वैधता
Bभविष्यसूचक वैधता
Cविषयवस्तु वैधता
Dपरीक्षण-पुनःपरीक्षण विश्वसनीयता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

"बुद्धि" का एक परीक्षण मुख्य रूप से यह मापता है कि लोग कितनी तेज़ी से टाइप कर सकते हैं। किस प्रकार की वैधता की सबसे स्पष्ट कमी है?

Aअंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता
Bसंरचना वैधता (construct validity)
Cपरीक्षण-पुनःपरीक्षण विश्वसनीयता
Dआंतरिक संगति

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 41, 46, 11, 46, 48, 31, 21।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 104 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 10x = 104

z =

5.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 4 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

4 / 5

P =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X − 3। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.25, 0.35, 0.25Y = −2X − 3

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 6 का कुल द्रव्यमान 151.8 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6> 151.8 kg

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.02 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

16 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 9.7 और मानक विचलन 4.5 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 16d̄ = 9.7s_d = 4.599%t(15) = 2.947

निचली सीमा = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.02 हो?

p ≈ 0.4E = 0.0295%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 97.36 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 97.36s = 12n = 100

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

49 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 498.3 है। समष्टि मानक विचलन 8 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 498.3σ = 8n = 4990%

U =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 60 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 60

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “रात की शिफ़्ट, गंभीर” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 71स्तंभ योग = 69N = 174

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

3 पंक्तियों और 5 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²_crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05

χ²_crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · विषयवस्तु वैधता

यह उत्तर क्यों है

विषयवस्तु वैधता वह सीमा है जिस तक कोई माप संरचना के सभी प्रासंगिक पहलुओं को कवर करता है, जिसका आकलन आमतौर पर विशेषज्ञ करते हैं।

उत्तर

C · विषयवस्तु वैधता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · संरचना वैधता (construct validity)

यह उत्तर क्यों है

संरचना वैधता यह है कि क्या कोई माप वास्तव में अंतर्निहित संरचना को दर्शाता है। एक परीक्षण ग़लत चीज़ मापते हुए भी विश्वसनीय हो सकता है।

उत्तर

B · संरचना वैधता (construct validity)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.35

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 244/7 = 34.86

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 6.143² + 11.14² + (−23.86)² + 11.14² + 13.14² + (−3.857)² + (−13.86)² = 1235

मानक विचलन

s = √(1235/6) = 14.35

उत्तर

s = 14.35

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 0.4

मानकीकृत करें

z = (104 − 100)/10 = 0.4

उत्तर

z = 0.4

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1667

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667

उत्तर

P = 0.1667

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 4.02

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 3.4, Var(X) = 4.04, σ_X = 2.01

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |−2|·2.01 = 4.02

उत्तर

σ_Y = 4.02

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·3.4 − 3 = −9.8।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.07078

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

मानकीकृत करें

z = (151.8 − 150)/1.225 = 1.47

प्रायिकता

P = 1 − Φ(1.47) = 0.07078

उत्तर

P = 0.07078

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

अंतर का बंटन

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 6.385 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 15, t = 2.947

त्रुटि सीमा

E = 2.947·4.5/√16 = 3.315

अंतराल

9.7 ± 3.315 → [6.385, 13.02]

उत्तर

निचली सीमा = 6.385 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 2305

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.4·0.6/0.02² = 2305

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 2305

उत्तर

n = 2305

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

परीक्षण सांख्यिकी

t = (97.36 − 100)/1.2 = −2.2

उत्तर

t = −2.2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 500.2

त्रुटि सीमा

E = 1.645·8/√49 = 1.88

अंतराल सीमा

U = 498.3 + 1.88 = 500.2

उत्तर

U = 500.2

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8802

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 373/6 = 62.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 192.8

निर्धारण गुणांक

r² = 54.5²/(17.5·192.8) = 0.8802

उत्तर

r² = 0.8802

y के विचरण का लगभग 88.02% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 4.018

माध्य

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 328/5 = 65.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

समाश्रयण रेखा

b = 228/40 = 5.7

a = 65.6 − 5.7·5 = 37.1

ŷ = 37.1 + 5.7·x

x के लिए हल करें

x = (60 − 37.1)/5.7 = 4.018

उत्तर

x = 4.018

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 28.16

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 71·69/174 = 28.16

उत्तर

E = 28.16

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²_crit = 15.51

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

तालिका

χ²_crit(df = 8, α = 0.05) = 15.507

उत्तर

χ²_crit = 15.507

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology