मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक नई अवसाद प्रश्नावली भविष्यवाणी करती है कि अगले वर्ष कौन-से छात्र उपचार लेंगे। यह किस प्रकार की वैधता का समर्थन करता है?

  1. Aसमवर्ती वैधता
  2. Bआभासी वैधता (face validity)
  3. Cभविष्यसूचक वैधता (predictive validity)
  4. Dविषयवस्तु वैधता (content validity)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

अध्ययन घंटों और नींद से परीक्षा अंकों की भविष्यवाणी करने वाले बहु-प्रतिगमन (multiple regression) में R² = 0.36 है। इसका क्या अर्थ है?

  1. Aभविष्यवक्ताओं के बीच सहसंबंध 0.36 है
  2. Bअध्ययन घंटे परीक्षा सफलता का 36% कारण हैं
  3. C36% छात्र परीक्षा में उत्तीर्ण हुए
  4. Dभविष्यवक्ता मिलकर परीक्षा अंकों में 36% प्रसरण की व्याख्या करते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
20253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 26, 17, 49, 29, 52।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 66 से कम है?

μ = 50σ = 8x = 66
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.1520.130.2540.15μ = 1.7

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.1, 0.25, 0.15
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.2510.220.230.35μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X + 10। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.2, 0.2, 0.35Y = 10X + 10
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.5587

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.5587 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.5587
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
380420460500540580620hनीचे 15%

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 15% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 40 फ़ोन, माध्य 94.5 h, ज्ञात मानक विचलन 13 h। मॉडल 2: 100 फ़ोन, माध्य 85 h, ज्ञात मानक विचलन 19 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 40x̄₁ = 94.5 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 85 hσ₂ = 19 h95%
ऊपरी सीमा = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0590%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.05 हो?

p = 0.5E = 0.0590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
1.04p = ?

एक समष्टि का माध्य 120 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 24 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 123.12 है। H₀: μ = 120 बनाम H₁: μ > 120 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 120σ = 24n = 64x̄ = 123.12H₁: μ > μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.599%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो? मानक विचलन 5 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 5E = 2.599%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy15431761196921762377xy15206080

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy122219317416517xy2416182022ŷ = 20

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 20 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 20
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र13344188कर्मचारी41361592कुल547056180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “कर्मचारी, कार” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 92स्तंभ योग = 56N = 180
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

3 पंक्तियों और 6 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)

यह उत्तर क्यों है

भविष्यसूचक वैधता तब दिखती है जब अंक किसी बाद के मानदंड की भविष्यवाणी करते हैं। समवर्ती वैधता उसी समय मापे गए मानदंड का उपयोग करती है।

उत्तर

C · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · भविष्यवक्ता मिलकर परीक्षा अंकों में 36% प्रसरण की व्याख्या करते हैं

यह उत्तर क्यों है

R² दिखाता है कि परिणाम की परिवर्तनशीलता का कितना भाग सभी भविष्यवक्ताओं द्वारा मिलकर समझाया जाता है। यह कार्य-कारण स्थापित नहीं करता।

उत्तर

D · भविष्यवक्ता मिलकर परीक्षा अंकों में 36% प्रसरण की व्याख्या करते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.21

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 173/5 = 34.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−8.6)² + (−17.6)² + 14.4² + (−5.6)² + 17.4² = 925.2

मानक विचलन

s = √(925.2/4) = 15.21

उत्तर

s = 15.21
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9772

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772

उत्तर

P = 0.9772
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 2.31

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.15 = 1.7

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.15 = 5.2

प्रसरण

Var(X) = 5.2 − 1.7² = 2.31

उत्तर

Var(X) = 2.31
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 11.95

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.65, Var(X) = 1.428, σX = 1.195

रैखिक परिवर्तन

σY = |10|·1.195 = 11.95

उत्तर

σY = 11.95

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·1.65 + 10 = 26.5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.77

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.5587)/2 = 0.7794

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.7794 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.77

उत्तर

z = 0.77
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 458 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.15

सारणी से z

z ≈ −1.04

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

उत्तर

x = 458 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 14.99 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 94.5 − 85 = 9.5

मानक त्रुटि

SE = √(13²/40 + 19²/100) = 2.799

त्रुटि सीमा

E = 1.96·2.799 = 5.486

अंतराल

9.5 ± 5.486 → [4.014, 14.99]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 14.99 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.5·0.5/0.05² = 270.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 271

उत्तर

n = 271
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.1492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 24/√64 = 3
z = (123.12 − 120)/3 = 1.04

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.04) = 0.8508
1 − Φ(1.04) = 0.1492

p-मान

p = 0.1492

उत्तर

p = 0.1492

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 27

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (2.576·5/2.5)² = 26.54

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 27

उत्तर

n = 27
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9393

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 326/5 = 65.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166
Syy = Σ(y − ȳ)² = 780.8

सहसंबंध गुणांक

r = 166/√(40·780.8) = 0.9393

उत्तर

r = 0.9393
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 1.615

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

समाश्रयण रेखा

b = −13/10 = −1.3
a = 18.2 − (−1.3)·3 = 22.1
ŷ = 22.1 − 1.3·x

x के लिए हल करें

x = (20 − 22.1)/(−1.3) = 1.615

उत्तर

x = 1.615
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 28.62

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 92·56/180 = 28.62

उत्तर

E = 28.62
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 23.21

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

तालिका

χ²crit(df = 10, α = 0.01) = 23.209

उत्तर

χ²crit = 23.209

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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