मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

सामान्य बंटन में लगभग कितने प्रतिशत अंक माध्य से एक मानक विचलन के भीतर होते हैं?

  1. A68%
  2. B50%
  3. C99.7%
  4. D95%
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन पाता है कि अधिक सोने वाले छात्रों के अंक अधिक होते हैं। कौन-सा डिज़ाइन परिवर्तन कारण-संबंधी निष्कर्ष की सबसे अच्छी अनुमति देगा?

  1. Aछात्रों से अपनी नींद दो बार बताने को कहना और दोनों रिपोर्टों का औसत लेना
  2. Bअधिक छात्रों का सर्वेक्षण करना
  3. Cअंकों को अधिक सटीकता से मापना
  4. Dछात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 57, 41, 44, 13, 20, 20।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 44 से कम है?

μ = 50σ = 12x = 44
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 8 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 8
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 11, p = 0.4: P(X = 4) = ?k01234567891011

एक परीक्षा में 11 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.4k = 4
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
200 mm200.8 mmX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 120 mm और मानक विचलन 0.3 mm है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 80 mm और मानक विचलन 0.4 mm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 200.8 mm से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.8 mm
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
35455565758595अंकऊपर 80%

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 80% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक80%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 4.499%, n = 100x̄E₂ = ?90%, n = 900

ज्ञात σ और 100 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 4.4 है। 900 प्रेक्षणों पर आधारित 90% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 100E₁ = 4.490%n₂ = 900
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 30σ = ?Us = 1.595%

30 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 1.5 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 29 के साथ χ² बंटन का 2.5% 16.047 से नीचे और 2.5% 45.722 से ऊपर है।

n = 30s = 1.5 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.98401.984

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 120.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 120.8s = 5n = 100
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.595%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 10E = 1.595%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2414486498551060xy510405060

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy125223320415512xy24152025x = 4.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4.5, 19) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4.5, 19)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
सुधार हुआसुधार नहीं हुआकुलनई दवा4080120प्लेसिबो5941100कुल99121220

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2202 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

3 पंक्तियों और 6 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

3 × 6
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · 68%

यह उत्तर क्यों है

लगभग 68% अंक ±1 SD के भीतर, लगभग 95% ±2 SD के भीतर और लगभग 99.7% ±3 SD के भीतर आते हैं।

उत्तर

A · 68%
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना

यह उत्तर क्यों है

केवल यादृच्छिक आवंटन के साथ नींद में हेरफेर ही तीसरे चरों को नियंत्रित करता है और नैतिक सीमाओं के भीतर कारण-संबंधी अनुमान की अनुमति देता है।

उत्तर

D · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.31

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 195/6 = 32.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 24.5² + 8.5² + 11.5² + (−19.5)² + (−12.5)² + (−12.5)² = 1498

मानक विचलन

s = √(1498/5) = 17.31

उत्तर

s = 17.31
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.3085

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

उत्तर

P = 0.3085
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7674

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674

उत्तर

P = 0.7674
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2365

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 330·0.44·0.67 = 330·0.0256·0.02799 = 0.2365

उत्तर

P = 0.2365
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.0548

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

मानकीकृत करें

z = (200.8 − 200)/0.5 = 1.6

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548

उत्तर

P = 0.0548
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 56.6 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.2

सारणी से z

z ≈ −0.84

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 − 0.84·10 = 56.6 अंक

उत्तर

x = 56.6 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 0.9366

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(100/900) = 0.2129

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 4.4·0.2129 = 0.9366

उत्तर

E₂ = 0.9366
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 1.195 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 29·1.5² = 65.25

σ² की सीमाएँ

65.25/45.722 = 1.427
65.25/16.047 = 4.066

σ की सीमा

σ = √1.427 = 1.195 µm

उत्तर

σ = 1.195 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [1.195, 2.016] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.6

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (120.8 − 120)/0.5 = 1.6

उत्तर

t = 1.6
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 171

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.96·10/1.5)² = 170.7

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 171

उत्तर

n = 171
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9839

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 253/5 = 50.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Syy = Σ(y − ȳ)² = 209.2

सहसंबंध गुणांक

r = 90/√(40·209.2) = 0.9839

उत्तर

r = 0.9839
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 5.1

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

समाश्रयण रेखा

b = −34/10 = −3.4
a = 19 − (−3.4)·3 = 29.2
ŷ = 29.2 − 3.4·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 29.2 + (−3.4)·4.5 = 13.9

अवशिष्ट

e = 19 − 13.9 = 5.1

उत्तर

e = 5.1

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 14.52

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 120·99/220 = 54, 120·121/220 = 66
प्लेसिबो: 100·99/220 = 45, 100·121/220 = 55

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (40 − 54)²/54 + (80 − 66)²/66 + (59 − 45)²/45 + (41 − 55)²/55
χ² = 14.52

उत्तर

χ² = 14.52

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 10

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

उत्तर

df = 10

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