मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अवलोकन में व्यवहार श्रेणियों को आँकड़े एकत्र करने से पहले संक्रियात्मक रूप से परिभाषित क्यों किया जाता है?

  1. Aताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
  2. Bताकि आँकड़े देखने के बाद परिकल्पना बदली जा सके
  3. Cताकि अवलोकन एक प्रयोग बन जाए
  4. Dताकि प्रतिभागी ठीक-ठीक जानें कि क्या दर्ज हो रहा है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता एक आँकड़ा समुच्चय पर 20 विश्लेषण करता है और केवल p < 0.05 वाला एक प्रस्तुत करता है। इस प्रथा को क्या कहते हैं?

  1. Aत्रिकोणीकरण (triangulation)
  2. BP-hacking
  3. Cपूर्व-पंजीकरण
  4. Dप्रति-संतुलन
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 51, 54, 11, 41, 41।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 50 से कम है?

μ = 70σ = 10x = 50
P =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 5नीली: 4

एक थैले में 5 लाल और 4 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

5 / 4
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 10, p = 0.5: P(X = 2) = ?k012345678910

एक परीक्षा में 10 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 2 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 10p = 0.5k = 2
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
750 g759.8 gX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 250 g और मानक विचलन 4 g है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 500 g और मानक विचलन 9 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 759.8 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 759.8 g
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 250x = ?20%

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 20% आते हैं (20वाँ शततमक)।

μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 12, s = 11L = ?Ux̄ = 50E95%

12 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 50 और मानक विचलन s = 11 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 12x̄ = 50s = 1195%t(11) = 2.201
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0190%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.15 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.01 हो?

p ≈ 0.15E = 0.0190%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.06402.064

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 47.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 50 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 50x̄ = 47.8s = 5n = 25
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो? मानक विचलन 5 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 5E = 0.590%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2841061281910211224xy51010152025

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy129226324420517618xy246202530x = 1.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (1.5, 23) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(1.5, 23)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष225880महिलाएँ265480कुल48112160

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुलआयु 18–303961100आयु 31–503862100आयु 51+273360कुल104156260dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2603 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे

यह उत्तर क्यों है

स्पष्ट, अवलोकनीय श्रेणियाँ (जैसे "खुले हाथ से मारना") व्यक्तिपरक निर्णय घटाती हैं और अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता बढ़ाती हैं।

उत्तर

A · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · P-hacking

यह उत्तर क्यों है

P-hacking सार्थकता पाने के लिए विश्लेषण के लचीलेपन का लाभ उठाता है, जिससे मिथ्या धनात्मक दर 5% से बहुत ऊपर चली जाती है। पूर्व-पंजीकरण और पारदर्शी रिपोर्टिंग इसे घटाते हैं।

उत्तर

B · P-hacking
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.02

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 198/5 = 39.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 11.4² + 14.4² + (−28.6)² + 1.4² + 1.4² = 1159

मानक विचलन

s = √(1159/4) = 17.02

उत्तर

s = 17.02
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2778

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0.2778

उत्तर

P = 0.2778
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.04395

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 2) = 45·0.52·0.58 = 45·0.25·0.003906 = 0.04395

उत्तर

P = 0.04395
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1587

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

मानकीकृत करें

z = (759.8 − 750)/9.849 = 1

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 245.8 g

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

वापस x पर

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

उत्तर

x = 245.79 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 43.01

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 11, t = 2.201

त्रुटि सीमा

E = 2.201·11/√12 = 6.989

अंतराल

50 ± 6.989 → [43.01, 56.99]

उत्तर

निचली सीमा = 43.01
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 3451

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.15·0.85/0.01² = 3450

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 3451

उत्तर

n = 3451
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

परीक्षण सांख्यिकी

t = (47.8 − 50)/1 = −2.2

उत्तर

t = −2.2
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| > 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 271

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.645·5/0.5)² = 270.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 271

उत्तर

n = 271
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9643

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 94/6 = 15.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120
Syy = Σ(y − ȳ)² = 213.3

निर्धारण गुणांक

r² = 120²/(70·213.3) = 0.9643

उत्तर

r² = 0.9643

y के विचरण का लगभग 96.43% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −4.248

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 134/6 = 22.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43

समाश्रयण रेखा

b = −43/17.5 = −2.457
a = 22.33 − (−2.457)·3.5 = 30.93
ŷ = 30.93 − 2.457·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 30.93 + (−2.457)·1.5 = 27.25

अवशिष्ट

e = 23 − 27.25 = −4.248

उत्तर

e = −4.248

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.4762

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 80·48/160 = 24, 80·112/160 = 56
महिलाएँ: 80·48/160 = 24, 80·112/160 = 56

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (22 − 24)²/24 + (58 − 56)²/56 + (26 − 24)²/24 + (54 − 56)²/56
χ² = 0.4762

उत्तर

χ² = 0.4762

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.8333

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 40, 60
आयु 31–50: 40, 60
आयु 51+: 24, 36

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60 + (38 − 40)²/40 + (62 − 60)²/60 + (27 − 24)²/24 + (33 − 36)²/36
χ² = 0.8333

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
0.8333 < 9.210

उत्तर

χ² = 0.8333

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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