मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

वही 25 प्रतिभागी कैफ़ीन से पहले और बाद में स्मृति परीक्षण देते हैं। अंक अंतराल स्तर के और लगभग सामान्य हैं। कौन-सा परीक्षण उपयुक्त है?

  1. Aकाई-वर्ग परीक्षण
  2. Bस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
  3. Cमान–व्हिटनी U परीक्षण
  4. Dयुग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

गुणात्मक शोध में आत्म-परावर्तन (reflexivity) का अर्थ है कि शोधकर्ता:

  1. Aविश्वसनीयता जाँचने के लिए अध्ययन दोहराता है
  2. Bविषयों को संख्यात्मक आँकड़ों में बदलता है
  3. Cपक्षपात हटाने के लिए यादृच्छिक प्रतिदर्श का उपयोग करता है
  4. Dइस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
20253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 47, 26, 24, 52, 23, 17।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 50 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 425 से अधिक है?

μ = 500σ = 50x = 425
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3520.0540.3560.25μ = 3

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.05, 0.35, 0.25
σ =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−100.79300.2900.01

एक खेल खेलने का मूल्य €10 है। आप प्रायिकता 0.2 से €40 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €10€40: p = 0.2€100: p = 0.01
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
174.85183.6P = ?

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 174.85 और 183.6 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x1 = 174.85x2 = 183.6
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 cm0X − Y?

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 7.795%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 576

ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 7.7 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 576 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

95%n₁ = 64E₁ = 7.7n₂ = 576
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

समष्टि मानक विचलन 5 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 5E = 0.599%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.99801.998

64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 75.7 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 75.7s = 8n = 64
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.05βσ = 10, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 10 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 80%δ = 3σ = 10zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy284156208251031xy510102030

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 30Σy = 99Σx² = 220Σy² = 2275Σxy = 706
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy16751995221052512328144xy2025100150ŷ = 117

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 117 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 117
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
खाँसीखाँसी नहींकुलधूम्रपान करने वाले6238100धूम्रपान न करने वाले5842100कुल12080200

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुलआयु 18–30211940आयु 31–503664100आयु 51+33740कुल9090180dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1803 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · युग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

युग्मित t-परीक्षण हर व्यक्ति के भीतर अंतरों का उपयोग करके, दो स्थितियों में एक ही प्रतिभागियों के माध्यों की तुलना करता है।

उत्तर

D · युग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

आत्म-परावर्तन आँकड़ा संग्रह और व्याख्या पर शोधकर्ता के प्रभाव को स्वीकार करता है, और गुणात्मक कार्य में एक प्रमुख गुणवत्ता मानदंड है।

उत्तर

D · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.35

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 189/6 = 31.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 15.5² + (−5.5)² + (−7.5)² + 20.5² + (−8.5)² + (−14.5)² = 1030

मानक विचलन

s = √(1030/5) = 14.35

उत्तर

s = 14.35
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9332

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 2.408

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 2·0.05 + 4·0.35 + 6·0.25 = 3

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.05 + 16·0.35 + 36·0.25 = 14.8

प्रसरण

Var(X) = 14.8 − 3² = 5.8
σ = √5.8 = 2.408

उत्तर

σ = 2.408
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −1 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 30 (p = 0.2), 90 (p = 0.01), −10 (p = 0.79)

प्रत्याशित मान

E(G) = 30·0.2 + 90·0.01 − 10·0.79 = −1 €

उत्तर

E(G) = −1 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.4618

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (174.85 − 178)/7 = −0.45
z₂ = (183.6 − 178)/7 = 0.8

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.8) − Φ(−0.45) = 0.7881 − 0.3264 = 0.4618

उत्तर

P = 0.4618
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 2.567

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(64/576) = 0.3333

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 7.7·0.3333 = 2.567

उत्तर

E₂ = 2.567
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 664

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·5/0.5)² = 663.6

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 664

उत्तर

n = 664
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.7

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

परीक्षण सांख्यिकी

t = (75.7 − 75)/1 = 0.7

उत्तर

t = 0.7
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| < 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 69

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 0.842)·10/3)² = 68.72

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 69

उत्तर

n = 69
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9981

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 706 − 30·99/5 = 112
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2275 − 99²/5 = 314.8

सहसंबंध गुणांक

r = 112/√(40·314.8) = 0.9981

उत्तर

r = 0.9981
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 23.55

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 542/5 = 108.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 498

समाश्रयण रेखा

b = 498/90 = 5.533
a = 108.4 − 5.533·22 = −13.33
ŷ = −13.33 + 5.533·x

x के लिए हल करें

x = (117 − (−13.33))/5.533 = 23.55

उत्तर

x = 23.55
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.3333

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 100·120/200 = 60, 100·80/200 = 40
धूम्रपान न करने वाले: 100·120/200 = 60, 100·80/200 = 40

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (62 − 60)²/60 + (38 − 40)²/40 + (58 − 60)²/60 + (42 − 40)²/40
χ² = 0.3333

उत्तर

χ² = 0.3333

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 24.84

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 20, 20
आयु 31–50: 50, 50
आयु 51+: 20, 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (21 − 20)²/20 + (19 − 20)²/20 + (36 − 50)²/50 + (64 − 50)²/50 + (33 − 20)²/20 + (7 − 20)²/20
χ² = 24.84

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
24.84 > 9.210

उत्तर

χ² = 24.84

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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