मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

दो कोटि-समुच्चयों के बीच संबंध के लिए, जैसे चित्रों की निर्णायकों द्वारा कोटियाँ, कौन-सा सांख्यिकी माप उपयुक्त है?

Aपियर्सन r
Bस्वतंत्र t-परीक्षण
Cस्पीयरमैन rho
Dकाई-वर्ग

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

"बुद्धि" का एक परीक्षण मुख्य रूप से यह मापता है कि लोग कितनी तेज़ी से टाइप कर सकते हैं। किस प्रकार की वैधता की सबसे स्पष्ट कमी है?

Aआंतरिक संगति
Bपरीक्षण-पुनःपरीक्षण विश्वसनीयता
Cसंरचना वैधता (construct validity)
Dअंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 32, 53, 46, 18, 10, 21।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 164 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 12x = 164

z =

5.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7

P =

6.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.25 से €20 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €250; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€20: p = 0.25€250: p = 0.05

E(G) = €

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 49 और 83 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 83

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।

μ = 65σ = 10P = 75%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

9 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 3 और मानक विचलन 3.4 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 9d̄ = 3s_d = 3.490%t(8) = 1.86

ऊपरी सीमा = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 5 प्लॉट, माध्य उपज 84.5 kg, मानक विचलन 5 kg। प्लॉट समूह 2: 12 प्लॉट, माध्य 84 kg, मानक विचलन 9 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 5x̄₁ = 84.5s₁ = 5n₂ = 12x̄₂ = 84s₂ = 999%t(15) = 2.947

ऊपरी सीमा = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 69.4 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 69.4s = 20n = 25

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 2 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 12 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 2σ = 12z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 71 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 71

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 2

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 3 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 3

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · स्पीयरमैन rho

यह उत्तर क्यों है

स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध दो कोटिबद्ध या क्रमसूचक चरों के बीच एकदिष्ट (monotonic) संबंध की प्रबलता मापता है।

उत्तर

C · स्पीयरमैन rho

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · संरचना वैधता (construct validity)

यह उत्तर क्यों है

संरचना वैधता यह है कि क्या कोई माप वास्तव में अंतर्निहित संरचना को दर्शाता है। एक परीक्षण ग़लत चीज़ मापते हुए भी विश्वसनीय हो सकता है।

उत्तर

C · संरचना वैधता (construct validity)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.82

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 180/6 = 30

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 2² + 23² + 16² + (−12)² + (−20)² + (−9)² = 1414

मानक विचलन

s = √(1414/5) = 16.82

उत्तर

s = 16.82

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.5

मानकीकृत करें

z = (164 − 170)/12 = −0.5

उत्तर

z = −0.5

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7209

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

उत्तर

P = 0.7209

6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 12.5 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 15 (p = 0.25), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.7)

प्रत्याशित मान

E(G) = 15·0.25 + 245·0.05 − 5·0.7 = 12.5 €

उत्तर

E(G) = 12.5 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9093

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (49 − 65)/10 = −1.6

z₂ = (83 − 65)/10 = 1.8

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.8) − Φ(−1.6) = 0.9641 − 0.0548 = 0.9093

उत्तर

P = 0.9093

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 71.75 अंक

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

वापस x पर

x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 अंक

उत्तर

x = 71.75 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 5.108 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 8, t = 1.86

त्रुटि सीमा

E = 1.86·3.4/√9 = 2.108

अंतराल

3 ± 2.108 → [0.892, 5.108]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 5.108 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 13.25 kg

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (4·5² + 11·9²)/15 = 66.07

s_p = 8.128

त्रुटि सीमा

E = 2.947·8.128·√(1/5 + 1/12) = 12.75

अंतराल

0.5 ± 12.75 → [−12.25, 13.25]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 13.25 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.4

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

परीक्षण सांख्यिकी

t = (69.4 − 75)/4 = −1.4

उत्तर

t = −1.4

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 362

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·12/2)² = 361.3

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 362

उत्तर

n = 362

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9558

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 444/5 = 88.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 946.8

सहसंबंध गुणांक

r = 186/√(40·946.8) = 0.9558

उत्तर

r = 0.9558

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 6.138

माध्य

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 421/6 = 70.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423

समाश्रयण रेखा

b = 423/70 = 6.043

a = 70.17 − 6.043·6 = 33.91

ŷ = 33.91 + 6.043·x

x के लिए हल करें

x = (71 − 33.91)/6.043 = 6.138

उत्तर

x = 6.138

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.4689

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 100·56/160 = 35, 100·104/160 = 65

महिलाएँ: 60·56/160 = 21, 60·104/160 = 39

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (33 − 35)²/35 + (67 − 65)²/65 + (23 − 21)²/21 + (37 − 39)²/39

χ² = 0.4689

उत्तर

χ² = 0.4689

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 2

स्वातंत्र्य कोटि

df = 3 − 1 = 2

उत्तर

df = 2

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