मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अवलोकन शोध में घटना प्रतिचयन (event sampling) का अर्थ है:

Aकेवल प्रतिभागियों द्वारा बताई गई घटनाएँ दर्ज करना
Bकेवल निश्चित समय अंतरालों पर व्यवहार दर्ज करना
Cहर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना
Dप्रतिभागियों को यादृच्छिक रूप से चुनना

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता परखना चाहता है कि क्या नई शिक्षण विधि बेहतर ग्रेड का कारण बनती है, पर छात्रों को यादृच्छिक नहीं कर सकता। इस स्थिति में कौन-सा डिज़ाइन सबसे प्रबल कारण-संबंधी साक्ष्य देता है?

Aतुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना
Bग्रेड का इस बात से सहसंबंध निकालना कि छात्र शिक्षक को कितना पसंद करते हैं
Cशिक्षण के बाद केवल नई विधि वाली कक्षा को मापना
Dछात्रों से पूछना कि क्या उन्हें लगता है कि विधि काम कर गई

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 23, 55, 25, 57, 52, 48, 56।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 54.8 से कम है?

μ = 50σ = 12x = 54.8

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.05, 0.35, 0.3, 0.25

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 0.5X + 20। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.05, 0.3, 0.3Y = 0.5X + 20

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0233 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0233

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.03 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 100 फ़ोन, माध्य 114.5 h, ज्ञात मानक विचलन 16 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 112 h, ज्ञात मानक विचलन 15 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 100x̄₁ = 114.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 112 hσ₂ = 15 h90%

निचली सीमा = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

10 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 11.3 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 9 के साथ χ² बंटन का 2.5% 2.7 से नीचे और 2.5% 19.023 से ऊपर है।

n = 10s = 11.3 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 51.89 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10 है। H₀: μ = 50 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 50x̄ = 51.89s = 10n = 81

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक परीक्षण में उपचार A वाले 100 में से 40 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 100 में से 30 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 30n₂ = 100

z =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 21Σy = 326Σx² = 91Σy² = 17966Σxy = 1199

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 4.5

ŷ =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “कर्मचारी, बस” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 88स्तंभ योग = 56N = 142

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 6 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 6

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · हर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना

यह उत्तर क्यों है

घटना प्रतिचयन लक्ष्य व्यवहारों की हर घटना गिनता है। समय प्रतिचयन निर्धारित अंतरालों पर, जैसे हर 30 सेकंड, होने वाली बातें दर्ज करता है।

उत्तर

C · हर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना

यह उत्तर क्यों है

गैर-समतुल्य समूह पूर्व-परीक्षण–पश्च-परीक्षण डिज़ाइन प्रारंभिक अंतरों और समय के साथ परिवर्तन को नियंत्रित करता है, हालाँकि यह यादृच्छिक प्रयोग से कमज़ोर है।

उत्तर

A · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.76

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 316/7 = 45.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−22.14)² + 9.857² + (−20.14)² + 11.86² + 6.857² + 2.857² + 10.86² = 1307

मानक विचलन

s = √(1307/6) = 14.76

उत्तर

s = 14.76

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6554

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.127

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.05 + 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.3 + 4·0.25 = 2.65

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.3 + 16·0.25 = 8.15

प्रसरण

Var(X) = 8.15 − 2.65² = 1.127

उत्तर

Var(X) = 1.127

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 1.244

X का फैलाव

μ = 3.1, Var(X) = 6.19, σ_X = 2.488

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |0.5|·2.488 = 1.244

उत्तर

σ_Y = 1.244

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 0.5·3.1 + 20 = 21.55।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.99

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0233 = 0.9767

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9767 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.99

उत्तर

z = 1.99

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8849

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

उत्तर

P = 0.8849

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −1.632 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 114.5 − 112 = 2.5

मानक त्रुटि

SE = √(16²/100 + 15²/60) = 2.512

त्रुटि सीमा

E = 1.645·2.512 = 4.132

अंतराल

2.5 ± 4.132 → [−1.632, 6.632]

उत्तर

निचली सीमा = −1.632 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 7.772 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 9·11.3² = 1149

σ² की सीमाएँ

1149/19.023 = 60.41

1149/2.7 = 425.6

σ की सीमा

σ = √60.41 = 7.772 µm

उत्तर

σ = 7.772 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [7.772, 20.63] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.701

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

परीक्षण सांख्यिकी

t = (51.89 − 50)/1.111 = 1.701

उत्तर

t = 1.701

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 1.482

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 40/100 = 0.4

p̂₂ = 30/100 = 0.3

p̂ = 70/200 = 0.35

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.35·0.65·(1/100 + 1/100)) = 0.06745

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.4 − 0.3)/0.06745 = 1.482

उत्तर

z = 1.482

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.8711

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 1199 − 21·326/6 = 58

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 17966 − 326²/6 = 253.3

सहसंबंध गुणांक

r = 58/√(17.5·253.3) = 0.8711

उत्तर

r = 0.8711

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 49.27

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 267/6 = 44.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83.5

समाश्रयण रेखा

b = 83.5/17.5 = 4.771

a = 44.5 − 4.771·3.5 = 27.8

ŷ = 27.8 + 4.771·x

पूर्वानुमान

ŷ = 27.8 + 4.771·4.5 = 49.27

उत्तर

ŷ = 49.27

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 34.7

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 88·56/142 = 34.7

उत्तर

E = 34.7

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 5

स्वातंत्र्य कोटि

df = 6 − 1 = 5

उत्तर

df = 5

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