मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

विशेषज्ञ जाँचते हैं कि गणित परीक्षा के मद पाठ्यक्रम के सभी विषयों को कवर करते हैं या नहीं। यह किसका आकलन है?

  1. Aपरीक्षण-पुनःपरीक्षण विश्वसनीयता
  2. Bपारिस्थितिक वैधता
  3. Cविषयवस्तु वैधता
  4. Dभविष्यसूचक वैधता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

कोहेन का d जैसे प्रभाव-आकार माप क्यों बताए जाते हैं?

  1. Aक्योंकि वे किसी भी परिकल्पना की आवश्यकता समाप्त कर देते हैं
  2. Bक्योंकि वे बताते हैं कि कितने प्रतिभागी छोड़ गए
  3. Cक्योंकि वे प्रतिदर्श-आकार से स्वतंत्र रूप से दिखाते हैं कि प्रभाव कितना बड़ा है
  4. Dक्योंकि वे दिखाते हैं कि चुने गए अल्फ़ा स्तर पर परिणाम सांख्यिकीय रूप से सार्थक है या नहीं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 48, 36, 40, 37, 11, 59, 56।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 50 से अधिक है?

μ = 70σ = 10x = 50
P =
5.प्रायिकतामध्यम
n = 11k = 5N = ?

11 लोगों के समूह से 5 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 11k = 5
N =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−10.7320.25190.02

एक खेल खेलने का मूल्य €1 है। आप प्रायिकता 0.25 से €3 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €20; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €1€3: p = 0.25€20: p = 0.02
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.9676

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.9676 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9676
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
380420460500540580620hऊपर 80%

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 80% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 20, s = 4.5LU = ?x̄ = 113E95%

20 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 113 और मानक विचलन s = 4.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 20x̄ = 113s = 4.595%t(19) = 2.093
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.1, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0195%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.1 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.01 हो?

p ≈ 0.1E = 0.0195%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.99801.998

64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 69.5 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 69.5s = 20n = 64
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 24, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 24 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 90%δ = 5σ = 24zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2841261982310281231xy510102030

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 42Σy = 121Σx² = 364Σy² = 2843Σxy = 1014
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy23476108121016xy51051015x = 5

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (5, 3) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(5, 3)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
सुधार हुआसुधार नहीं हुआकुलनई दवा293160प्लेसिबो9723120कुल12654180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुललाइन 193140लाइन 2174360लाइन 3223860कुल48112160dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1603 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · विषयवस्तु वैधता

यह उत्तर क्यों है

विषयवस्तु वैधता वह सीमा है जिस तक कोई माप संरचना के सभी प्रासंगिक पहलुओं को कवर करता है, जिसका आकलन आमतौर पर विशेषज्ञ करते हैं।

उत्तर

C · विषयवस्तु वैधता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · क्योंकि वे प्रतिदर्श-आकार से स्वतंत्र रूप से दिखाते हैं कि प्रभाव कितना बड़ा है

यह उत्तर क्यों है

बड़े प्रतिदर्शों में बहुत छोटे प्रभाव भी सार्थक हो सकते हैं। प्रभाव-आकार किसी अंतर का परिमाण बताते हैं, जैसे d = 0.2 छोटा, 0.5 मध्यम, 0.8 बड़ा।

उत्तर

C · क्योंकि वे प्रतिदर्श-आकार से स्वतंत्र रूप से दिखाते हैं कि प्रभाव कितना बड़ा है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.02

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 287/7 = 41

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 7² + (−5)² + (−1)² + (−4)² + (−30)² + 18² + 15² = 1540

मानक विचलन

s = √(1540/6) = 16.02

उत्तर

s = 16.02
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9772

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772

उत्तर

P = 0.9772
5.प्रायिकता

उत्तर: N = 462

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462

उत्तर

N = 462
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.15 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 2 (p = 0.25), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.73)

प्रत्याशित मान

E(G) = 2·0.25 + 19·0.02 − 1·0.73 = 0.15 €

उत्तर

E(G) = 0.15 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.14

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.9676)/2 = 0.9838

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9838 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.14

उत्तर

z = 2.14
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 466 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.2

सारणी से z

z ≈ −0.84

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 − 0.84·40 = 466 h

उत्तर

x = 466 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 115.1

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 19, t = 2.093

त्रुटि सीमा

E = 2.093·4.5/√20 = 2.106

अंतराल

113 ± 2.106 → [110.9, 115.1]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 115.1
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 3458

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.1·0.9/0.01² = 3457

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 3458

उत्तर

n = 3458
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (69.5 − 75)/2.5 = −2.2

उत्तर

t = −2.2
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 300

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.282)·24/5)² = 299.9

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 300

उत्तर

n = 300
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9945

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 1014 − 42·121/6 = 167
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2843 − 121²/6 = 402.8

सहसंबंध गुणांक

r = 167/√(70·402.8) = 0.9945

उत्तर

r = 0.9945
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −5.05

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 48/5 = 9.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

समाश्रयण रेखा

b = 62/40 = 1.55
a = 9.6 − 1.55·6 = 0.3
ŷ = 0.3 + 1.55·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 0.3 + 1.55·5 = 8.05

अवशिष्ट

e = 3 − 8.05 = −5.05

उत्तर

e = −5.05

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 20.12

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 60·126/180 = 42, 60·54/180 = 18
प्लेसिबो: 120·126/180 = 84, 120·54/180 = 36

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (29 − 42)²/42 + (31 − 18)²/18 + (97 − 84)²/84 + (23 − 36)²/36
χ² = 20.12

उत्तर

χ² = 20.12

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.421

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 12, 28
लाइन 2: 18, 42
लाइन 3: 18, 42

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (9 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28 + (17 − 18)²/18 + (43 − 42)²/42 + (22 − 18)²/18 + (38 − 42)²/42
χ² = 2.421

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
2.421 < 5.991

उत्तर

χ² = 2.421

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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