मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

दो कोटि-समुच्चयों के बीच संबंध के लिए, जैसे चित्रों की निर्णायकों द्वारा कोटियाँ, कौन-सा सांख्यिकी माप उपयुक्त है?

  1. Aपियर्सन r
  2. Bकाई-वर्ग
  3. Cस्वतंत्र t-परीक्षण
  4. Dस्पीयरमैन rho
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक स्मृति अध्ययन पुनरावृत्त माप डिज़ाइन का उपयोग करता है जिसमें हर कोई पहले सूची A और फिर सूची B सीखता है। सूची B का स्मरण बेहतर है। सबसे संभावित दोष क्या है?

  1. Aअभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया
  2. Bसमूहों के बीच व्यक्तिगत अंतर
  3. Cमापन के क्रमसूचक स्तर का उपयोग
  4. Dबहुत बड़ा प्रतिदर्श आकार
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
30354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 60, 32, 38, 49, 34, 30।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 72 से अधिक है?

μ = 60σ = 20x = 72
P =
5.प्रायिकतामध्यम
n = 13k = 4N = ?

13 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 13k = 4
N =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)10.320.1530.2540.3μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.25, 0.3Y = 3X + 4
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
765 kg837 kgT = X₁ + … + X₉?

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 9 का कुल द्रव्यमान 837 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 837 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
157164171178185192199cmऊपर 5%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 5% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 7, s = 8L = ?Ux̄ = 50E90%

7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 50 और मानक विचलन s = 8 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 7x̄ = 50s = 890%t(6) = 1.943
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 11σ = ?Us = 7.595%

11 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 7.5 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 10 के साथ χ² बंटन का 2.5% 3.247 से नीचे और 2.5% 20.483 से ऊपर है।

n = 11s = 7.5 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.961.96z = ?

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 40 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 79 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 20 mm है। लाइन 2: 40 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 68.3 mm, ज्ञात मानक विचलन 9 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 40x̄₁ = 79 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 40x̄₂ = 68.3 mmσ₂ = 9 mm
z =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 200 बनाम H₁: μ < 200 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 100 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 30 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 196.1 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 200μ = 196.1σ = 30n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy127227323422519xy242025

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy284106158201022xy510101520x = 7

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (7, 14) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(7, 14)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट13343380रात की शिफ़्ट5142140कुल184854120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 6 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · स्पीयरमैन rho

यह उत्तर क्यों है

स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध दो कोटिबद्ध या क्रमसूचक चरों के बीच एकदिष्ट (monotonic) संबंध की प्रबलता मापता है।

उत्तर

D · स्पीयरमैन rho
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया

यह उत्तर क्यों है

जब सभी प्रतिभागी स्थितियों को एक ही क्रम में अनुभव करते हैं, तो सुधार सूची के बजाय अभ्यास को दर्शा सकता है। प्रति-संतुलन (ABBA या आधे AB, आधे BA) इसे नियंत्रित करता है।

उत्तर

A · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.69

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 243/6 = 40.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 19.5² + (−8.5)² + (−2.5)² + 8.5² + (−6.5)² + (−10.5)² = 683.5

मानक विचलन

s = √(683.5/5) = 11.69

उत्तर

s = 11.69
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.2743

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.6

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

उत्तर

P = 0.2743
5.प्रायिकता

उत्तर: N = 715

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

उत्तर

N = 715
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 3.609

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.55, Var(X) = 1.447, σX = 1.203

रैखिक परिवर्तन

σY = |3|·1.203 = 3.609

उत्तर

σY = 3.609

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·2.55 + 4 = 11.65।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.02275

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg

मानकीकृत करें

z = (837 − 765)/36 = 2

प्रायिकता

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 189.5 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.95

सारणी से z

z ≈ 1.64

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 + 1.64·7 = 189.5 cm

उत्तर

x = 189.5 cm
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 44.12

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 6, t = 1.943

त्रुटि सीमा

E = 1.943·8/√7 = 5.875

अंतराल

50 ± 5.875 → [44.12, 55.88]

उत्तर

निचली सीमा = 44.12
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 5.24 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 10·7.5² = 562.5

σ² की सीमाएँ

562.5/20.483 = 27.46
562.5/3.247 = 173.2

σ की सीमा

σ = √27.46 = 5.24 µm

उत्तर

σ = 5.24 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [5.24, 13.16] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 3.086

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(20²/40 + 9²/40) = √12.03 = 3.468

परीक्षण सांख्यिकी

z = (79 − 68.3)/3.468 = 3.086

उत्तर

z = 3.086

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 36.5 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 30/√100 = 3
x̄c = 200 − 1.645·3 = 195.1

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (195.1 − 196.1)/3 = −0.345

शक्ति

शक्ति = P(Z < −0.345) = 36.5%
1 − β = 36.5%

उत्तर

1 − β = 36.5%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9666

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 118/5 = 23.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 47.2

सहसंबंध गुणांक

r = −21/√(10·47.2) = −0.9666

उत्तर

r = −0.9666
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −2.9

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 75/5 = 15

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

समाश्रयण रेखा

b = 76/40 = 1.9
a = 15 − 1.9·6 = 3.6
ŷ = 3.6 + 1.9·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 3.6 + 1.9·7 = 16.9

अवशिष्ट

e = 14 − 16.9 = −2.9

उत्तर

e = −2.9

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 1.375

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 80·18/120 = 12, 80·48/120 = 32, 80·54/120 = 36
रात की शिफ़्ट: 40·18/120 = 6, 40·48/120 = 16, 40·54/120 = 18

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (13 − 12)²/12 + (34 − 32)²/32 + (33 − 36)²/36 + (5 − 6)²/6 + (14 − 16)²/16 + (21 − 18)²/18
χ² = 1.375

उत्तर

χ² = 1.375

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 13.28

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 6 − 1 − 1 = 4

तालिका

χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

उत्तर

χ²crit = 13.277

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology