मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक सहसंबंध में r = 0.40 है। एक चर में प्रसरण का कितना अनुपात दूसरे के साथ साझा है?

  1. A60%
  2. B16%
  3. C4%
  4. D40%
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता नौ समय-बिंदुओं पर आँकड़े एकत्र करता है और हर बार बिना संशोधन के 5% स्तर पर परीक्षण करता है। समस्या क्या है?

  1. Aआँकड़े हर बार अधिक विश्वसनीय होते जाते हैं, इसलिए अंतिम परीक्षण सबसे सटीक होता है
  2. Bकम से कम एक मिथ्या धनात्मक की संभावना 5% से बहुत ऊपर चली जाती है
  3. Cहर परीक्षण के साथ प्रभाव-आकार घटता है
  4. Dइस तरीके में कोई समस्या नहीं है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
10152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 34, 10, 42, 33, 16, 55, 31।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 100 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 600 से कम है?

μ = 500σ = 100x = 600
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.3520.330.1540.2μ = 2.2

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.2
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
n = 10, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

10 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 10p = 0.6
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
244259.25P = ?

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 244 और 259.25 g के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 259.25
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 100x = ?97.5%

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 97.5% आते हैं (97.5वाँ शततमक)।

μ = 100σ = 15P = 97.5%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 7, s = 11LUx̄ = 108E = ?90%

7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 108 और मानक विचलन s = 11 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 7x̄ = 108s = 1190%t(6) = 1.943
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 10σ = ?Us = 5.895%

10 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 5.8 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 9 के साथ χ² बंटन का 2.5% 2.7 से नीचे और 2.5% 19.023 से ऊपर है।

n = 10s = 5.8 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
1.76p = ?

एक समष्टि का माध्य 100 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 5 ज्ञात है। 100 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 100.88 है। H₀: μ = 100 बनाम H₁: μ > 100 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 100σ = 5n = 100x̄ = 100.88H₁: μ > μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 200 बनाम H₁: μ > 200 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 8 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 202.7 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 200μ = 202.7σ = 8n = 64α = 0.01
β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy120219317415512613xy2461520

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2134176288341042xy510203040ŷ = 16

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 16 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 16
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
निम्नमध्यमउच्चकुलशहरी19303382ग्रामीण36361284कुल556645166

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “शहरी, मध्यम” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 82स्तंभ योग = 66N = 166
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 9 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · 16%

यह उत्तर क्यों है

निर्धारण गुणांक r² है, यहाँ 0.40² = 0.16, इसलिए 16% प्रसरण साझा है।

उत्तर

B · 16%
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · कम से कम एक मिथ्या धनात्मक की संभावना 5% से बहुत ऊपर चली जाती है

यह उत्तर क्यों है

नौ स्वतंत्र परीक्षणों में कम से कम एक प्रकार I त्रुटि की प्रायिकता लगभग 1 − 0.95⁹ ≈ 37% होती है। बोनफ़ेरोनी जैसे संशोधन इसका समाधान करते हैं।

उत्तर

B · कम से कम एक मिथ्या धनात्मक की संभावना 5% से बहुत ऊपर चली जाती है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.13

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 221/7 = 31.57

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 2.429² + (−21.57)² + 10.43² + 1.429² + (−15.57)² + 23.43² + (−0.5714)² = 1374

मानक विचलन

s = √(1374/6) = 15.13

उत्तर

s = 15.13
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8413

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.26

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.2 = 2.2

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.2 = 6.1

प्रसरण

Var(X) = 6.1 − 2.2² = 1.26

उत्तर

Var(X) = 1.26
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.001678

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.410 = 0.0001049
P(X = 1) = 10·0.6·0.49 = 0.001573

जोड़ें

P = 0.0001049 + 0.001573 = 0.001678

उत्तर

P = 0.001678
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8528

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (244 − 250)/5 = −1.2
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.85) − Φ(−1.2) = 0.9678 − 0.1151 = 0.8528

उत्तर

P = 0.8528
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 129.4 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

वापस x पर

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 अंक

उत्तर

x = 129.4 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 8.078

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 6, t = 1.943

त्रुटि सीमा

E = 1.943·11/√7 = 8.078

उत्तर

E = 8.078
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 3.989 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 9·5.8² = 302.8

σ² की सीमाएँ

302.8/19.023 = 15.92
302.8/2.7 = 112.1

σ की सीमा

σ = √15.92 = 3.989 µm

उत्तर

σ = 3.989 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [3.989, 10.59] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.0392

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5
z = (100.88 − 100)/0.5 = 1.76

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.76) = 0.9608
1 − Φ(1.76) = 0.0392

p-मान

p = 0.0392

उत्तर

p = 0.0392

p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 35.42 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 8/√64 = 1
x̄c = 200 + 2.326·1 = 202.3

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (202.3 − 202.7)/1 = −0.374

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z > −0.374) = 64.58%
β = 100% − 64.58% = 35.42%

उत्तर

β = 35.42%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9613

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 96/6 = 16

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 52

सहसंबंध गुणांक

r = −29/√(17.5·52) = −0.9613

उत्तर

r = −0.9613
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 3.12

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 134/5 = 26.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

समाश्रयण रेखा

b = 150/40 = 3.75
a = 26.8 − 3.75·6 = 4.3
ŷ = 4.3 + 3.75·x

x के लिए हल करें

x = (16 − 4.3)/3.75 = 3.12

उत्तर

x = 3.12
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 32.6

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 82·66/166 = 32.6

उत्तर

E = 32.6
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 14.07

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 9 − 1 − 1 = 7

तालिका

χ²crit(df = 7, α = 0.05) = 14.067

उत्तर

χ²crit = 14.067

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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