वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
लगभग सामान्य अंतराल आँकड़ों वाले दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों की तुलना के लिए कौन-सा परीक्षण उपयुक्त है?
- Aपियर्सन सहसंबंध
- Bकाई-वर्ग परीक्षण
- Cविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
- Dस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
एक शोधकर्ता परखना चाहता है कि क्या नई शिक्षण विधि बेहतर ग्रेड का कारण बनती है, पर छात्रों को यादृच्छिक नहीं कर सकता। इस स्थिति में कौन-सा डिज़ाइन सबसे प्रबल कारण-संबंधी साक्ष्य देता है?
- Aग्रेड का इस बात से सहसंबंध निकालना कि छात्र शिक्षक को कितना पसंद करते हैं
- Bतुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना
- Cछात्रों से पूछना कि क्या उन्हें लगता है कि विधि काम कर गई
- Dशिक्षण के बाद केवल नई विधि वाली कक्षा को मापना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 44, 42, 36, 27, 25, 21, 42।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 500 और मानक विचलन 25 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 450 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 500σ = 25x = 450
z =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.35
σ =
6.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 10। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.3, 0.25, 0.3, 0.1Y = 5X + 10
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 6 का कुल द्रव्यमान 241.5 g से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6< 241.5 g
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.03 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
छिद्र: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
10 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 2.4 और मानक विचलन 6.1 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 10d̄ = 2.4sd = 6.190%t(9) = 1.833
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 32 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?
σ = 32E = 290%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 250 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 12.5 ज्ञात है। 25 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 252.55 है। H₀: μ = 250 बनाम H₁: μ > 250 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 250σ = 12.5n = 25x̄ = 252.55H₁: μ > μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 150 में से 38 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 100 में से 13 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 13n₂ = 100
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5Σx = 105Σy = 544Σx² = 2295Σy² = 61962Σxy = 11919
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 51 का पूर्वानुमान देती है?
n = 6ŷ = 51
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1802 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 8 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?
k = 8
df =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · स्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
यह उत्तर क्यों है
स्वतंत्र t-परीक्षण दो समूह-माध्यों की तुलना करता है। काई-वर्ग आवृत्तियों के लिए है; विलकॉक्सन अप्राचलिक आँकड़ों वाले संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।
उत्तर
D · स्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना
यह उत्तर क्यों है
गैर-समतुल्य समूह पूर्व-परीक्षण–पश्च-परीक्षण डिज़ाइन प्रारंभिक अंतरों और समय के साथ परिवर्तन को नियंत्रित करता है, हालाँकि यह यादृच्छिक प्रयोग से कमज़ोर है।
उत्तर
B · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 9.406
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 237/7 = 33.86
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 10.14² + 8.143² + 2.143² + (−6.857)² + (−8.857)² + (−12.86)² + 8.143² = 530.9
मानक विचलन
s = √(530.9/6) = 9.406
उत्तर
s = 9.406
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = −2
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (450 − 500)/25 = −2
उत्तर
z = −2
5.प्रायिकता
उत्तर: σ = 1.284
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.35 + 1·0.1 + 2·0.2 + 3·0.35 = 1.55
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.1 + 4·0.2 + 9·0.35 = 4.05
प्रसरण
Var(X) = 4.05 − 1.55² = 1.648
σ = √1.648 = 1.284
उत्तर
σ = 1.284
6.प्रायिकता
उत्तर: σY = 5.454
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 3.1, Var(X) = 1.19, σX = 1.091
रैखिक परिवर्तन
σY = |5|·1.091 = 5.454
उत्तर
σY = 5.454
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·3.1 + 10 = 25.5।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.695
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
कुल का बंटन
μT = 240 g, σT = 1.2·√6 = 2.939 g
मानकीकृत करें
z = (241.5 − 240)/2.939 = 0.51
प्रायिकता
P = Φ(0.51) = 0.695
उत्तर
P = 0.695
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.9099
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
अंतर का बंटन
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm
मानकीकृत करें
z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34
प्रायिकता
P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099
उत्तर
P = 0.9099
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = −1.136 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
क्रांतिक मान
df = 9, t = 1.833
त्रुटि सीमा
E = 1.833·6.1/√10 = 3.536
अंतराल
2.4 ± 3.536 → [−1.136, 5.936]
उत्तर
निचली सीमा = −1.136 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 693
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.645·32/2)² = 692.7
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 693
उत्तर
n = 693
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.1539
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 12.5/√25 = 2.5
z = (252.55 − 250)/2.5 = 1.02
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(1.02) = 0.8461
1 − Φ(1.02) = 0.1539
p-मान
p = 0.1539
उत्तर
p = 0.1539
p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 2.371
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 38/150 = 0.2533
p̂₂ = 13/100 = 0.13
p̂ = 51/250 = 0.204
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.204·0.796·(1/150 + 1/100)) = 0.05202
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.2533 − 0.13)/0.05202 = 2.371
उत्तर
z = 2.371
|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9905
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 11919 − 105·544/5 = 495
Sxx = 2295 − 105²/5 = 90
Syy = 61962 − 544²/5 = 2775
सहसंबंध गुणांक
r = 495/√(90·2775) = 0.9905
उत्तर
r = 0.9905
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: x = 3.476
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 329/6 = 54.83
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65.5
समाश्रयण रेखा
b = 65.5/17.5 = 3.743
a = 54.83 − 3.743·4.5 = 37.99
ŷ = 37.99 + 3.743·x
x के लिए हल करें
x = (51 − 37.99)/3.743 = 3.476
उत्तर
x = 3.476
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 23.3
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
दिन की शिफ़्ट: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45
रात की शिफ़्ट: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (19 − 15)²/15 + (52 − 40)²/40 + (29 − 45)²/45 + (8 − 12)²/12 + (20 − 32)²/32 + (52 − 36)²/36
χ² = 23.3
उत्तर
χ² = 23.3
df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: df = 7
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = 8 − 1 = 7
उत्तर
df = 7
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