मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

साक्षात्कार में खुले प्रश्न से किस प्रकार के आँकड़े मिलते हैं?

Aअंतराल आँकड़े
Bकेवल नामिक मात्रात्मक आँकड़े
Cगुणात्मक आँकड़े
Dअनुपात आँकड़े

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता तीन या अधिक समूह-माध्यों की तुलना करती है। कई t-परीक्षणों के बजाय एक-मार्गी ANOVA क्यों उपयोग होता है?

At-परीक्षण 100 से बड़ी संख्याएँ नहीं संभाल सकते
Bt-परीक्षणों को गुणात्मक आँकड़े चाहिए
CANOVA हमेशा समतुल्य t-परीक्षणों के समूह से बड़े प्रभाव पाता है
Dकई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 12, 44, 20, 37, 10, 26, 27।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 68 से कम है?

μ = 60σ = 20x = 68

P =

5.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7

P =

6.प्रायिकताकठिन

6 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.5

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.6319 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.6319

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।

μ = 65σ = 10P = 90%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 50 फ़ोन, माध्य 87.5 h, ज्ञात मानक विचलन 10 h। मॉडल 2: 50 फ़ोन, माध्य 92 h, ज्ञात मानक विचलन 12 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 50x̄₁ = 87.5 hσ₁ = 10 hn₂ = 50x̄₂ = 92 hσ₂ = 12 h90%

E = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 6 प्लॉट, माध्य उपज 17 kg, मानक विचलन 9 kg। प्लॉट समूह 2: 15 प्लॉट, माध्य 21.5 kg, मानक विचलन 5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 6x̄₁ = 17s₁ = 9n₂ = 15x̄₂ = 21.5s₂ = 595%t(19) = 2.093

E = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 100.3 और प्रतिदर्श मानक विचलन 4 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 100.3s = 4n = 64

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक परीक्षण में उपचार A वाले 120 में से 24 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 120 में से 16 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 16n₂ = 120

z =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 15Σy = 107Σx² = 55Σy² = 2375Σxy = 294

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (24, 88) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(24, 88)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “रात की शिफ़्ट, गंभीर” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 61स्तंभ योग = 53N = 145

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 5 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 5

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · गुणात्मक आँकड़े

यह उत्तर क्यों है

खुले प्रश्न समृद्ध गुणात्मक आँकड़े देते हैं, जिनका सांख्यिकीय विश्लेषण बंद प्रश्नों के उत्तरों की तुलना में कठिन होता है।

उत्तर

C · गुणात्मक आँकड़े

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं

यह उत्तर क्यों है

कई युग्मवार परीक्षण मिथ्या धनात्मक की संभावना गुणा कर देते हैं। ANOVA सभी समूहों का एक साथ परीक्षण करता है और उसके बाद संशोधित पोस्ट-हॉक परीक्षण किए जाते हैं।

उत्तर

D · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.44

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 176/7 = 25.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−13.14)² + 18.86² + (−5.143)² + 11.86² + (−15.14)² + 0.8571² + 1.857² = 928.9

मानक विचलन

s = √(928.9/6) = 12.44

उत्तर

s = 12.44

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6554

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7209

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

उत्तर

P = 0.7209

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1094

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.5⁶ = 0.01563

P(X = 1) = 6·0.5·0.5⁵ = 0.09375

जोड़ें

P = 0.01563 + 0.09375 = 0.1094

उत्तर

P = 0.1094

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.9

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.6319)/2 = 0.8159

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.8159 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.90

उत्तर

z = 0.90

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 77.82 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

वापस x पर

x = 65 + 1.282·10 = 77.82 अंक

उत्तर

x = 77.82 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 3.634 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 87.5 − 92 = −4.5

मानक त्रुटि

SE = √(10²/50 + 12²/50) = 2.209

त्रुटि सीमा

E = 1.645·2.209 = 3.634

उत्तर

E = 3.634 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.373 kg

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (5·9² + 14·5²)/19 = 39.74

s_p = 6.304

त्रुटि सीमा

E = 2.093·6.304·√(1/6 + 1/15) = 6.373

उत्तर

E = 6.373 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.6

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (100.3 − 100)/0.5 = 0.6

उत्तर

t = 0.6

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 1.386

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 24/120 = 0.2

p̂₂ = 16/120 = 0.1333

p̂ = 40/240 = 0.1667

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.1667·0.8333·(1/120 + 1/120)) = 0.04811

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.2 − 0.1333)/0.04811 = 1.386

उत्तर

z = 1.386

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.925

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 294 − 15·107/5 = −27

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2375 − 107²/5 = 85.2

सहसंबंध गुणांक

r = −27/√(10·85.2) = −0.925

उत्तर

r = −0.925

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −3.295

माध्य

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 496/6 = 82.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 302

समाश्रयण रेखा

b = 302/70 = 4.314

a = 82.67 − 4.314·22 = −12.25

ŷ = −12.25 + 4.314·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −12.25 + 4.314·24 = 91.3

अवशिष्ट

e = 88 − 91.3 = −3.295

उत्तर

e = −3.295

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 22.3

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 61·53/145 = 22.3

उत्तर

E = 22.3

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 3

स्वातंत्र्य कोटि

df = 5 − 1 − 1 = 3

उत्तर

df = 3

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