मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक छात्र माध्य 100 और मानक विचलन 15 वाले परीक्षण पर 130 अंक प्राप्त करता है। z-अंक क्या है?

  1. A0.5
  2. B1.5
  3. C2.0
  4. D3.0
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

मनोविज्ञान में "पुनरुत्पादन संकट" (रेप्लिकेशन क्राइसिस) का अर्थ है:

  1. Aकई प्रकाशित निष्कर्ष नए अध्ययनों में दोहराए नहीं जा पाते
  2. Bप्रयोगों के लिए प्रतिभागियों की कमी
  3. Cबिना अनुमति प्रश्नावलियों की नकल
  4. Dपत्रिकाओं पर कानूनी बाध्यता कि वे जमा किए गए सभी पुनरुत्पादन अध्ययन अस्वीकार करें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
10152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 57, 48, 24, 24, 33, 10, 38।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 164 से अधिक है?

μ = 170σ = 5x = 164
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.0520.3530.340.3μ = 2.85

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.3
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 11, p = 0.3: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

11 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.3 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.3
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
300 kg297.4 kgT = X₁ + … + X₁₂?

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 12 का कुल द्रव्यमान 297.4 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12< 297.4 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
4 s0X − Y?

धावक A का चक्कर समय X और धावक B का चक्कर समय Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 52 s और मानक विचलन 4 s है, Y का माध्य 48 s और मानक विचलन 3 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 60 फ़ोन, माध्य 47 h, ज्ञात मानक विचलन 5 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 46 h, ज्ञात मानक विचलन 4 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 47 hσ₁ = 5 hn₂ = 40x̄₂ = 46 hσ₂ = 4 h95%
निचली सीमा = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(19) = 2.0930LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 10 प्लॉट, माध्य उपज 100 kg, मानक विचलन 5.5 kg। प्लॉट समूह 2: 11 प्लॉट, माध्य 97 kg, मानक विचलन 9.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 10x̄₁ = 100s₁ = 5.5n₂ = 11x̄₂ = 97s₂ = 9.595%t(19) = 2.093
ऊपरी सीमा = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.5712.571t = ?df = 5

6 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 7.89 और अंतरों का मानक विचलन 6.9 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 6d̄ = 7.89sd = 6.9
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −2.57602.576

25 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 117.7 है। समष्टि मानक विचलन 4 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 117.7σ = 4n = 2599%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy342447555652754xy46455055

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 25Σy = 250Σx² = 135Σy² = 12618Σxy = 1279
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy254861281610181223xy5101020x = 3

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 3
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र20182462कर्मचारी38201674कुल583840136

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “छात्र, साइकिल” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 62स्तंभ योग = 38N = 136
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुललाइन 1122840लाइन 2235780लाइन 33169100कुल66154220dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2203 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · 2.0

यह उत्तर क्यों है

(130 − 100) / 15 = 2। अंक माध्य से दो मानक विचलन ऊपर है, लगभग 97–98% लोगों से अधिक।

उत्तर

C · 2.0
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · कई प्रकाशित निष्कर्ष नए अध्ययनों में दोहराए नहीं जा पाते

यह उत्तर क्यों है

बड़ी पुनरुत्पादन परियोजनाओं में कई प्रभाव छोटे या अनुपस्थित मिले, जो प्रकाशन पक्षपात, छोटे प्रतिदर्शों और लचीले विश्लेषण से जुड़ा है। पूर्व-पंजीकरण इसका एक उत्तर है।

उत्तर

A · कई प्रकाशित निष्कर्ष नए अध्ययनों में दोहराए नहीं जा पाते
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.89

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 234/7 = 33.43

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 23.57² + 14.57² + (−9.429)² + (−9.429)² + (−0.4286)² + (−23.43)² + 4.571² = 1516

मानक विचलन

s = √(1516/6) = 15.89

उत्तर

s = 15.89
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8849

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

उत्तर

P = 0.8849
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 0.9097

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.85

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.95

प्रसरण

Var(X) = 8.95 − 2.85² = 0.8275
σ = √0.8275 = 0.9097

उत्तर

σ = 0.9097
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.113

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.711 = 0.01977
P(X = 1) = 11·0.3·0.710 = 0.09322

जोड़ें

P = 0.01977 + 0.09322 = 0.113

उत्तर

P = 0.113
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.06681

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 300 kg, σT = 0.5·√12 = 1.732 kg

मानकीकृत करें

z = (297.4 − 300)/1.732 = −1.5

प्रायिकता

P = Φ(−1.5) = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

मानकीकृत करें

z = (0 − 4)/5 = −0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −0.7712 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 47 − 46 = 1

मानक त्रुटि

SE = √(5²/60 + 4²/40) = 0.9037

त्रुटि सीमा

E = 1.96·0.9037 = 1.771

अंतराल

1 ± 1.771 → [−0.7712, 2.771]

उत्तर

निचली सीमा = −0.7712 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 10.19 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (9·5.5² + 10·9.5²)/19 = 61.83
sp = 7.863

त्रुटि सीमा

E = 2.093·7.863·√(1/10 + 1/11) = 7.191

अंतराल

3 ± 7.191 → [−4.191, 10.19]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 10.19 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.801

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 6.9/√6 = 2.817

परीक्षण सांख्यिकी

t = 7.89/2.817 = 2.801

उत्तर

t = 2.801

df = 5 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.571 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 119.8

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 2.576·4/√25 = 2.061

अंतराल सीमा

U = 117.7 + 2.061 = 119.8

उत्तर

U = 119.8
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.8442

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 1279 − 25·250/5 = 29
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 12618 − 250²/5 = 118

सहसंबंध गुणांक

r = 29/√(10·118) = 0.8442

उत्तर

r = 0.8442
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 6.581

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 82/6 = 13.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

समाश्रयण रेखा

b = 124/70 = 1.771
a = 13.67 − 1.771·7 = 1.267
ŷ = 1.267 + 1.771·x

पूर्वानुमान

ŷ = 1.267 + 1.771·3 = 6.581

उत्तर

ŷ = 6.581
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 17.32

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 62·38/136 = 17.32

उत्तर

E = 17.32
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.1071

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 12, 28
लाइन 2: 24, 56
लाइन 3: 30, 70

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (12 − 12)²/12 + (28 − 28)²/28 + (23 − 24)²/24 + (57 − 56)²/56 + (31 − 30)²/30 + (69 − 70)²/70
χ² = 0.1071

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
0.1071 < 9.210

उत्तर

χ² = 0.1071

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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