मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

वही 25 प्रतिभागी कैफ़ीन से पहले और बाद में स्मृति परीक्षण देते हैं। अंक अंतराल स्तर के और लगभग सामान्य हैं। कौन-सा परीक्षण उपयुक्त है?

Aकाई-वर्ग परीक्षण
Bस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
Cयुग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण
Dमान–व्हिटनी U परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

मनोविज्ञान में "पुनरुत्पादन संकट" (रेप्लिकेशन क्राइसिस) का अर्थ है:

Aपत्रिकाओं पर कानूनी बाध्यता कि वे जमा किए गए सभी पुनरुत्पादन अध्ययन अस्वीकार करें
Bबिना अनुमति प्रश्नावलियों की नकल
Cप्रयोगों के लिए प्रतिभागियों की कमी
Dकई प्रकाशित निष्कर्ष नए अध्ययनों में दोहराए नहीं जा पाते

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 43, 36, 21, 57, 41।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 76 से कम है?

μ = 100σ = 12x = 76

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.3, 0.2, 0.25

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

12 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.1

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 85 और 122.5 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 122.5

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 25% आते हैं (25वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 100 h, ज्ञात मानक विचलन 10 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 91.5 h, ज्ञात मानक विचलन 4 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 100 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 91.5 hσ₂ = 4 h99%

E = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

10 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 1.3 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 9 के साथ χ² बंटन का 2.5% 2.7 से नीचे और 2.5% 19.023 से ऊपर है।

n = 10s = 1.3 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 102.3 और प्रतिदर्श मानक विचलन 15 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 102.3s = 15n = 64

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 497.6 है। समष्टि मानक विचलन 4 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 497.6σ = 4n = 1695%

U =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 36Σy = 366Σx² = 286Σy² = 23198Σxy = 2438

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 4.5

ŷ =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 9 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 9

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · युग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

युग्मित t-परीक्षण हर व्यक्ति के भीतर अंतरों का उपयोग करके, दो स्थितियों में एक ही प्रतिभागियों के माध्यों की तुलना करता है।

उत्तर

C · युग्मित (संबंधित) प्रतिदर्श t-परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · कई प्रकाशित निष्कर्ष नए अध्ययनों में दोहराए नहीं जा पाते

यह उत्तर क्यों है

बड़ी पुनरुत्पादन परियोजनाओं में कई प्रभाव छोटे या अनुपस्थित मिले, जो प्रकाशन पक्षपात, छोटे प्रतिदर्शों और लचीले विश्लेषण से जुड़ा है। पूर्व-पंजीकरण इसका एक उत्तर है।

उत्तर

D · कई प्रकाशित निष्कर्ष नए अध्ययनों में दोहराए नहीं जा पाते

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.99

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 198/5 = 39.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 3.4² + (−3.6)² + (−18.6)² + 17.4² + 1.4² = 675.2

मानक विचलन

s = √(675.2/4) = 12.99

उत्तर

s = 12.99

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.248

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.25 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.25 = 1.45

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.25 = 3.35

प्रसरण

Var(X) = 3.35 − 1.45² = 1.248

उत्तर

Var(X) = 1.248

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.659

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.9¹² = 0.2824

P(X = 1) = 12·0.1·0.9¹¹ = 0.3766

जोड़ें

P = 0.2824 + 0.3766 = 0.659

उत्तर

P = 0.659

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7745

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (122.5 − 100)/15 = 1.5

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.5) − Φ(−1) = 0.9332 − 0.1587 = 0.7745

उत्तर

P = 0.7745

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 173.3 cm

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

वापस x पर

x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm

उत्तर

x = 173.28 cm

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 4.888 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 100 − 91.5 = 8.5

मानक त्रुटि

SE = √(10²/30 + 4²/60) = 1.897

त्रुटि सीमा

E = 2.576·1.897 = 4.888

उत्तर

E = 4.888 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 2.373 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 9·1.3² = 15.21

σ² की सीमाएँ

15.21/19.023 = 0.7996

15.21/2.7 = 5.633

σ की सीमा

σ = √5.633 = 2.373 µm

उत्तर

σ = 2.373 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [0.8942, 2.373] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.227

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

परीक्षण सांख्यिकी

t = (102.3 − 100)/1.875 = 1.227

उत्तर

t = 1.227

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 499.6

त्रुटि सीमा

E = 1.96·4/√16 = 1.96

अंतराल सीमा

U = 497.6 + 1.96 = 499.6

उत्तर

U = 499.6

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9795

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 2438 − 36·366/6 = 242

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 23198 − 366²/6 = 872

सहसंबंध गुणांक

r = 242/√(70·872) = 0.9795

उत्तर

r = 0.9795

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 11.15

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 76/5 = 15.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

समाश्रयण रेखा

b = −27/10 = −2.7

a = 15.2 − (−2.7)·3 = 23.3

ŷ = 23.3 − 2.7·x

पूर्वानुमान

ŷ = 23.3 + (−2.7)·4.5 = 11.15

उत्तर

ŷ = 11.15

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.356

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45

रात की शिफ़्ट: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (16 − 15)²/15 + (35 − 40)²/40 + (49 − 45)²/45 + (11 − 12)²/12 + (37 − 32)²/32 + (32 − 36)²/36

χ² = 2.356

उत्तर

χ² = 2.356

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 7

स्वातंत्र्य कोटि

df = 9 − 1 − 1 = 7

उत्तर

df = 7

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