वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
साक्षात्कार में खुले प्रश्न से किस प्रकार के आँकड़े मिलते हैं?
- Aअनुपात आँकड़े
- Bगुणात्मक आँकड़े
- Cकेवल नामिक मात्रात्मक आँकड़े
- Dअंतराल आँकड़े
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
दो पर्यवेक्षक एक खेल के मैदान में आक्रामक कृत्यों को दर्ज करते हैं और उनकी गणनाओं का सहसंबंध r = 0.45 है। शोधकर्ता को क्या करना चाहिए?
- Aव्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना
- Bआँकड़े स्वीकार करना क्योंकि कोई भी धनात्मक सहसंबंध पर्याप्त है
- Cएक-पुच्छीय परिकल्पना पर जाना
- Dदोनों में से केवल बड़ी गणना का उपयोग करना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 15, 54, 41, 26, 25, 36।
n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 80 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 100σ = 10x = 80
z =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.25, 0.3, 0.2
σ =
6.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 10। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.35, 0.05, 0.25Y = 3X + 10
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 5 का कुल द्रव्यमान 123.9 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5> 123.9 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
7 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य −6.5 और मानक विचलन 2 है। माध्य अंतर के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 7d̄ = −6.5sd = 295%t(6) = 2.447
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 40.5 kg, मानक विचलन 3.5 kg। प्लॉट समूह 2: 14 प्लॉट, माध्य 36 kg, मानक विचलन 10 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n₁ = 7x̄₁ = 40.5s₁ = 3.5n₂ = 14x̄₂ = 36s₂ = 1099%t(19) = 2.861
E = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 250 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 15 ज्ञात है। 36 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 244.8 है। H₀: μ = 250 बनाम H₁: μ < 250 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 250σ = 15n = 36x̄ = 244.8H₁: μ < μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 80 में से 32 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 250 में से 88 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 88n₂ = 250
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 6x = 1.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1402 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 4 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।
α = 0.01
χ²crit =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · गुणात्मक आँकड़े
यह उत्तर क्यों है
खुले प्रश्न समृद्ध गुणात्मक आँकड़े देते हैं, जिनका सांख्यिकीय विश्लेषण बंद प्रश्नों के उत्तरों की तुलना में कठिन होता है।
उत्तर
B · गुणात्मक आँकड़े
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: A · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना
यह उत्तर क्यों है
कम अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता का अर्थ है कि श्रेणियाँ असंगत रूप से लागू हो रही हैं। स्पष्ट संक्रियात्मक परिभाषाएँ और अभ्यास सत्र मुख्य आँकड़ा संग्रह से पहले सहमति बढ़ाने चाहिए।
उत्तर
A · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 13.79
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 197/6 = 32.83
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−17.83)² + 21.17² + 8.167² + (−6.833)² + (−7.833)² + 3.167² = 950.8
मानक विचलन
s = √(950.8/5) = 13.79
उत्तर
s = 13.79
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = −2
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (80 − 100)/10 = −2
उत्तर
z = −2
5.प्रायिकता
उत्तर: σ = 2.142
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.25 + 2·0.25 + 4·0.3 + 6·0.2 = 2.9
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.25 + 4·0.25 + 16·0.3 + 36·0.2 = 13
प्रसरण
Var(X) = 13 − 2.9² = 4.59
σ = √4.59 = 2.142
उत्तर
σ = 2.142
6.प्रायिकता
उत्तर: σY = 4.54
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 1.9, Var(X) = 2.29, σX = 1.513
रैखिक परिवर्तन
σY = |3|·1.513 = 4.54
उत्तर
σY = 4.54
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·1.9 + 10 = 15.7।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.8365
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
कुल का बंटन
μT = 125 kg, σT = 0.5·√5 = 1.118 kg
मानकीकृत करें
z = (123.9 − 125)/1.118 = −0.98
प्रायिकता
P = 1 − Φ(−0.98) = 0.8365
उत्तर
P = 0.8365
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.9452
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
अंतर का बंटन
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm
मानकीकृत करें
z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6
प्रायिकता
P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452
उत्तर
P = 0.9452
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = −8.35 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
क्रांतिक मान
df = 6, t = 2.447
त्रुटि सीमा
E = 2.447·2/√7 = 1.85
अंतराल
−6.5 ± 1.85 → [−8.35, −4.65]
उत्तर
निचली सीमा = −8.35 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 11.26 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (6·3.5² + 13·10²)/19 = 72.29
sp = 8.502
त्रुटि सीमा
E = 2.861·8.502·√(1/7 + 1/14) = 11.26
उत्तर
E = 11.26 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.01876
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5
z = (244.8 − 250)/2.5 = −2.08
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(2.08) = 0.9812
1 − Φ(2.08) = 0.0188
p-मान
p = 0.01876
उत्तर
p = 0.01876
p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 0.7768
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 32/80 = 0.4
p̂₂ = 88/250 = 0.352
p̂ = 120/330 = 0.3636
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.3636·0.6364·(1/80 + 1/250)) = 0.06179
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.4 − 0.352)/0.06179 = 0.7768
उत्तर
z = 0.7768
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.9119
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 281/5 = 56.2
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
Syy = Σ(y − ȳ)² = 166.8
निर्धारण गुणांक
r² = 39²/(10·166.8) = 0.9119
उत्तर
r² = 0.9119
y के विचरण का लगभग 91.19% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 55.88
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 433/6 = 72.17
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142.5
समाश्रयण रेखा
b = 142.5/17.5 = 8.143
a = 72.17 − 8.143·3.5 = 43.67
ŷ = 43.67 + 8.143·x
पूर्वानुमान
ŷ = 43.67 + 8.143·1.5 = 55.88
उत्तर
ŷ = 55.88
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 6
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
नई दवा: 100·98/140 = 70, 100·42/140 = 30
प्लेसिबो: 40·98/140 = 28, 40·42/140 = 12
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (76 − 70)²/70 + (24 − 30)²/30 + (22 − 28)²/28 + (18 − 12)²/12
χ² = 6
उत्तर
χ² = 6
df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ²crit = 11.35
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = 4 − 1 = 3
तालिका
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
उत्तर
χ²crit = 11.345
यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।
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