मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

दो कोटि-समुच्चयों के बीच संबंध के लिए, जैसे चित्रों की निर्णायकों द्वारा कोटियाँ, कौन-सा सांख्यिकी माप उपयुक्त है?

  1. Aस्पीयरमैन rho
  2. Bस्वतंत्र t-परीक्षण
  3. Cकाई-वर्ग
  4. Dपियर्सन r
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक स्व-रिपोर्ट स्केल पाता है कि कई कथनों से सहमत होने वाले लोग विषयवस्तु की परवाह किए बिना ऊँचे अंक लाते हैं। यह कौन-सा उत्तर पक्षपात है, और इसे कैसे घटाया जा सकता है?

  1. Aमाँग विशेषताएँ; द्वि-अंध डिज़ाइन का उपयोग करें
  2. Bसामाजिक वांछनीयता पक्षपात; बड़े प्रतिदर्श का उपयोग करें
  3. Cसहमति पक्षपात (acquiescence bias); उल्टे शब्दों वाले मद शामिल करें
  4. Dक्रम प्रभाव; प्रतिभागियों का प्रति-संतुलन करें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
101520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 49, 10, 26, 23, 50।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 158 से अधिक है?

μ = 170σ = 15x = 158
P =
5.प्रायिकतामध्यम
n = 8k = 4N = ?

8 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 8k = 4
N =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)100.25200.35300.1400.3μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3Y = 10X + 4
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
200 mm200.4 mmX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 120 mm और मानक विचलन 0.3 mm है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 80 mm और मानक विचलन 0.4 mm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 200.4 mm से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.4 mm
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
235240245250255260265gनीचे 60%

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 60% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 6, s = 15LU = ?x̄ = 22.5E99%

6 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 22.5 और मानक विचलन s = 15 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 6x̄ = 22.5s = 1599%t(5) = 4.032
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(12) = 2.1790LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 42 kg, मानक विचलन 1 kg। प्लॉट समूह 2: 7 प्लॉट, माध्य 51 kg, मानक विचलन 5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 42s₁ = 1n₂ = 7x̄₂ = 51s₂ = 595%t(12) = 2.179
ऊपरी सीमा = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1792.179t = ?df = 12

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 7 छात्र, माध्य अंक 119, मानक विचलन 5। समूह 2: 7 छात्र, माध्य अंक 126.2, मानक विचलन 7। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 119s₁ = 5n₂ = 7x̄₂ = 126.2s₂ = 7
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.05βσ = 11, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 2.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 11 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 90%δ = 2.5σ = 11zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy147257360461569xy24506070

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 15Σy = 294Σx² = 55Σy² = 17540Σxy = 930
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2841562082810371243xy5102040x = 9

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 9 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 9
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र223642100कर्मचारी223068120कुल4466110220

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 10 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · स्पीयरमैन rho

यह उत्तर क्यों है

स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध दो कोटिबद्ध या क्रमसूचक चरों के बीच एकदिष्ट (monotonic) संबंध की प्रबलता मापता है।

उत्तर

A · स्पीयरमैन rho
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · सहमति पक्षपात (acquiescence bias); उल्टे शब्दों वाले मद शामिल करें

यह उत्तर क्यों है

सहमति पक्षपात मदों से सहमत होने की प्रवृत्ति है। धनात्मक और ऋणात्मक शब्दों वाले मदों को मिलाने से हर चीज़ से सहमत होने पर अब चरम अंक नहीं बनता।

उत्तर

C · सहमति पक्षपात (acquiescence bias); उल्टे शब्दों वाले मद शामिल करें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.65

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 204/6 = 34

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 12² + 15² + (−24)² + (−8)² + (−11)² + 16² = 1386

मानक विचलन

s = √(1386/5) = 16.65

उत्तर

s = 16.65
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.7881

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.8

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881
5.प्रायिकता

उत्तर: N = 70

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

उत्तर

N = 70
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 116.1

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 24.5, Var(X) = 134.8, σX = 11.61

रैखिक परिवर्तन

σY = |10|·11.61 = 116.1

उत्तर

σY = 116.1

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·24.5 + 4 = 249।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.2119

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

मानकीकृत करें

z = (200.4 − 200)/0.5 = 0.8

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

उत्तर

P = 0.2119
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 251.3 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.6

सारणी से z

z ≈ 0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 + 0.25·5 = 251.3 g

उत्तर

x = 251.3 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 47.19

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 5, t = 4.032

त्रुटि सीमा

E = 4.032·15/√6 = 24.69

अंतराल

22.5 ± 24.69 → [−2.191, 47.19]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 47.19
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = −4.801 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (6·1² + 6·5²)/12 = 13
sp = 3.606

त्रुटि सीमा

E = 2.179·3.606·√(1/7 + 1/7) = 4.199

अंतराल

−9 ± 4.199 → [−13.2, −4.801]

उत्तर

ऊपरी सीमा = −4.801 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.214

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (6·5² + 6·7²)/12 = 37
sp = 6.083

मानक त्रुटि

SE = 6.083·√(1/7 + 1/7) = 3.251

परीक्षण सांख्यिकी

t = (119 − 126.2)/3.251 = −2.214

उत्तर

t = −2.214

df = 12 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.179 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 166

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 1.282)·11/2.5)² = 165.9

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 166

उत्तर

n = 166
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9547

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 930 − 15·294/5 = 48
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 17540 − 294²/5 = 252.8

सहसंबंध गुणांक

r = 48/√(10·252.8) = 0.9547

उत्तर

r = 0.9547
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 32.28

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 151/6 = 25.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

समाश्रयण रेखा

b = 249/70 = 3.557
a = 25.17 − 3.557·7 = 0.2667
ŷ = 0.2667 + 3.557·x

पूर्वानुमान

ŷ = 0.2667 + 3.557·9 = 32.28

उत्तर

ŷ = 32.28
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 4.913

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 100·44/220 = 20, 100·66/220 = 30, 100·110/220 = 50
कर्मचारी: 120·44/220 = 24, 120·66/220 = 36, 120·110/220 = 60

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (22 − 20)²/20 + (36 − 30)²/30 + (42 − 50)²/50 + (22 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (68 − 60)²/60
χ² = 4.913

उत्तर

χ² = 4.913

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 16.92

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 10 − 1 = 9

तालिका

χ²crit(df = 9, α = 0.05) = 16.919

उत्तर

χ²crit = 16.919

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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