मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक परीक्षण इतना आसान है कि लगभग सभी प्रतिभागी अधिकतम के पास अंक लाते हैं। इसे क्या कहते हैं?

  1. Aछत प्रभाव (ceiling effect)
  2. Bक्रम प्रभाव
  3. Cअभ्यास प्रभाव
  4. Dतल प्रभाव (floor effect)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

विषयगत (थीमैटिक) विश्लेषण में विश्लेषक मुख्यतः क्या करता है?

  1. Aकेवल शब्द-आवृत्तियाँ गिनता है
  2. Bकिसी संख्यात्मक परिकल्पना का परीक्षण करता है
  3. Cगुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
  4. Dहर विषय का माध्य अंक निकालता है ताकि उनकी सांख्यिकीय तुलना हो सके
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
3540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 59, 41, 53, 34, 47।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 54 से कम है?

μ = 60σ = 12x = 54
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.3520.3μ = 0.95

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 8, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k012345678

8 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 8p = 0.6
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.0143

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0143 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0143
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
557085100115130145अंकनीचे 30%

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 30% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक30%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 8.295%, n = 36x̄E₂ = ?99%, n = 36

ज्ञात σ और 36 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 8.2 है। उन्हीं आँकड़ों से 99% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

95%n₁ = 36E₁ = 8.299%
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

समष्टि मानक विचलन 39 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 39E = 2.595%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.961.96z = ?

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 105.5 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 8 mm है। लाइन 2: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 102.3 mm, ज्ञात मानक विचलन 7 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 80x̄₁ = 105.5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 80x̄₂ = 102.3 mmσ₂ = 7 mm
z =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ > 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 20 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 85.75 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 85.75σ = 20n = 64α = 0.10
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy127224320421519614xy246152025

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 21Σy = 125Σx² = 91Σy² = 2703Σxy = 398
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy140246353459569675xy2464060x = 5.5

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (5.5, 67) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(5.5, 67)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र36251980कर्मचारी542026100कुल904545180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

2 पंक्तियों और 2 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

2 × 2
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · छत प्रभाव (ceiling effect)

यह उत्तर क्यों है

छत प्रभाव स्थितियों के बीच अंतर छिपा देते हैं क्योंकि कोई अधिक अंक नहीं ला सकता। तल प्रभाव इसका उल्टा है, जब कार्य बहुत कठिन हो।

उत्तर

A · छत प्रभाव (ceiling effect)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है

यह उत्तर क्यों है

विषयगत विश्लेषण में आँकड़ों से परिचय, कोडिंग, विषय बनाना, उनकी समीक्षा, नामकरण और लेखन शामिल हैं; इसका केंद्र सांख्यिकी के बजाय अर्थ है।

उत्तर

C · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 9.808

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 234/5 = 46.8

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 12.2² + (−5.8)² + 6.2² + (−12.8)² + 0.2² = 384.8

मानक विचलन

s = √(384.8/4) = 9.808

उत्तर

s = 9.808
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.3085

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

उत्तर

P = 0.3085
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 0.8047

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

प्रसरण

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047

उत्तर

σ = 0.8047
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.00852

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.48 = 0.0006554
P(X = 1) = 8·0.6·0.47 = 0.007864

जोड़ें

P = 0.0006554 + 0.007864 = 0.00852

उत्तर

P = 0.00852
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.19

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0143 = 0.9857

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9857 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.19

उत्तर

z = 2.19
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 92.2 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.3

सारणी से z

z ≈ −0.52

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 − 0.52·15 = 92.2 अंक

उत्तर

x = 92.2 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 10.78

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(36/36) = 1.314

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 8.2·1.314 = 10.78

उत्तर

E₂ = 10.78
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 935

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·39/2.5)² = 934.9

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 935

उत्तर

n = 935
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 2.693

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(8²/80 + 7²/80) = √1.413 = 1.188

परीक्षण सांख्यिकी

z = (105.5 − 102.3)/1.188 = 2.693

उत्तर

z = 2.693

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 84.57 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 80 + 1.282·2.5 = 83.2

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (83.2 − 85.75)/2.5 = −1.018

शक्ति

शक्ति = P(Z > −1.018) = 84.57%
1 − β = 84.57%

उत्तर

1 − β = 84.57%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9498

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 398 − 21·125/6 = −39.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2703 − 125²/6 = 98.83

सहसंबंध गुणांक

r = −39.5/√(17.5·98.83) = −0.9498

उत्तर

r = −0.9498
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −4.286

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 342/6 = 57

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 125

समाश्रयण रेखा

b = 125/17.5 = 7.143
a = 57 − 7.143·3.5 = 32
ŷ = 32 + 7.143·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 32 + 7.143·5.5 = 71.29

अवशिष्ट

e = 67 − 71.29 = −4.286

उत्तर

e = −4.286

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 3.06

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 80·90/180 = 40, 80·45/180 = 20, 80·45/180 = 20
कर्मचारी: 100·90/180 = 50, 100·45/180 = 25, 100·45/180 = 25

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (36 − 40)²/40 + (25 − 20)²/20 + (19 − 20)²/20 + (54 − 50)²/50 + (20 − 25)²/25 + (26 − 25)²/25
χ² = 3.06

उत्तर

χ² = 3.06

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 1

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

उत्तर

df = 1

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