मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक शोधकर्ता एक दूरस्थ कस्बे में टेलीविज़न आने से पहले और बाद में बच्चों की आक्रामकता की तुलना करता है। शोधकर्ता ने टेलीविज़न के आगमन को नियंत्रित नहीं किया। यह है:

Aप्रयोगशाला प्रयोग
Bक्षेत्र प्रयोग
Cटेलीविज़न देखने का सहसंबंधी सर्वेक्षण
Dप्राकृतिक प्रयोग

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

आँकड़ों का विश्लेषण करने के बाद एक शोधकर्ता भूमिका ऐसे लिखता है मानो एक अप्रत्याशित निष्कर्ष की भविष्यवाणी शुरू से की गई थी। इसे क्या कहते हैं?

AHARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)
Bडीब्रीफ़िंग
Cप्रति-संतुलन
Dसंक्रियाकरण

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 53, 26, 25, 21, 47, 58।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 160 से कम है?

μ = 170σ = 5x = 160

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.2, 0.1, 0.15, 0.3

σ =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X + 1। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.2, 0.15, 0.35Y = 2X + 1

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 8 का कुल द्रव्यमान 325.1 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 8> 325.1 g

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 100 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 1.2 है। उन्हीं आँकड़ों से 90% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 100E₁ = 1.290%

E₂ =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.05 हो?

p ≈ 0.4E = 0.0595%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 196.5 और प्रतिदर्श मानक विचलन 15 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 196.5s = 15n = 36

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 95% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 14 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 95%δ = 3σ = 14z_α = 1.645z_β = 1.645

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 39 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 39

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “दिन की शिफ़्ट, गंभीर” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 75स्तंभ योग = 65N = 194

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 8 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 8

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · प्राकृतिक प्रयोग

यह उत्तर क्यों है

प्राकृतिक प्रयोग में IV शोधकर्ता के नियंत्रण से बाहर की घटनाओं के कारण बदलता है। पारिस्थितिक वैधता उच्च होती है, पर यादृच्छिक आवंटन संभव नहीं है।

उत्तर

D · प्राकृतिक प्रयोग

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)

यह उत्तर क्यों है

HARKing अन्वेषणात्मक परिणामों को पुष्टिकारी के रूप में प्रस्तुत करता है, जिससे निष्कर्ष वास्तविकता से अधिक मज़बूत दिखते हैं। यह पुनरुत्पादन संकट (replication crisis) में योगदान देता है।

उत्तर

A · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.17

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 230/6 = 38.33

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 14.67² + (−12.33)² + (−13.33)² + (−17.33)² + 8.667² + 19.67² = 1307

मानक विचलन

s = √(1307/5) = 16.17

उत्तर

s = 16.17

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.596

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.1 + 4·0.15 + 5·0.3 = 3.05

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.1 + 16·0.15 + 25·0.3 = 11.85

प्रसरण

Var(X) = 11.85 − 3.05² = 2.548

σ = √2.548 = 1.596

उत्तर

σ = 1.596

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 2.488

X का फैलाव

μ = 2.55, Var(X) = 1.548, σ_X = 1.244

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |2|·1.244 = 2.488

उत्तर

σ_Y = 2.488

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·2.55 + 1 = 6.1।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.06681

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 320 g, σ_T = 1.2·√8 = 3.394 g

मानकीकृत करें

z = (325.1 − 320)/3.394 = 1.5

प्रायिकता

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 0.7663

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(100/100) = 0.6386

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 1.2·0.6386 = 0.7663

उत्तर

E₂ = 0.7663

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 369

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.4·0.6/0.05² = 368.8

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 369

उत्तर

n = 369

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.4

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (196.5 − 200)/2.5 = −1.4

उत्तर

t = −1.4

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 236

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 1.645)·14/3)² = 235.7

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 236

उत्तर

n = 236

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9825

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 134/5 = 26.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 752.8

निर्धारण गुणांक

r² = 172²/(40·752.8) = 0.9825

उत्तर

r² = 0.9825

y के विचरण का लगभग 98.25% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 18.98

माध्य

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 182/5 = 36.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

समाश्रयण रेखा

b = 106/40 = 2.65

a = 36.4 − 2.65·18 = −11.3

ŷ = −11.3 + 2.65·x

x के लिए हल करें

x = (39 − (−11.3))/2.65 = 18.98

उत्तर

x = 18.98

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 25.13

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 75·65/194 = 25.13

उत्तर

E = 25.13

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 7

स्वातंत्र्य कोटि

df = 8 − 1 = 7

उत्तर

df = 7

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