मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

50 के माध्य के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल (confidence interval) 46 से 54 है। सबसे सटीक व्याख्या क्या है?

  1. Aप्रतिदर्श के 95% व्यक्तिगत प्रतिभागियों ने इस माप पर 46 और 54 के बीच अंक प्राप्त किए
  2. Bपरिणाम सार्थक नहीं है
  3. C95% संभावना है कि प्रतिदर्श माध्य 50 है
  4. Dप्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

व्याख्यात्मक परिघटनात्मक विश्लेषण (IPA) का मुख्य उद्देश्य क्या है?

  1. Aबड़े प्रतिदर्शों के साथ कारण-संबंधी परिकल्पनाओं का परीक्षण
  2. Bपाठों में शब्दों की आवृत्ति गिनना
  3. Cयह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
  4. Dप्रतिक्रिया समय को सटीक रूप से मापना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 21, 59, 40, 50, 13, 28, 36।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 115 से कम है?

μ = 100σ = 15x = 115
P =
5.प्रायिकतामध्यम
n = 14k = 2N = ?

14 लोगों के समूह से 2 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 14k = 2
N =
6.प्रायिकताकठिन
n = 11, p = 0.1: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

11 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.1
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
160 g161.2 gT = X₁ + … + X₄?

बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 4 का कुल द्रव्यमान 161.2 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 4> 161.2 g
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
380420460500540580620hऊपर 95%

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 95% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 100 फ़ोन, माध्य 96 h, ज्ञात मानक विचलन 15 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 103 h, ज्ञात मानक विचलन 13 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 100x̄₁ = 96 hσ₁ = 15 hn₂ = 60x̄₂ = 103 hσ₂ = 13 h90%
ऊपरी सीमा = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0590%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.05 हो?

p = 0.5E = 0.0590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.13102.131

16 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 119.1 और प्रतिदर्श मानक विचलन 4 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 119.1s = 4n = 16
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −2.57602.576

100 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 100.8 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 100.8σ = 5n = 10099%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy167918101201082212124132xy2080100120

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy123221317414516613xy2461520x = 3.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 3.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष275380महिलाएँ215980कुल48112160

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

3 पंक्तियों और 6 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है

यह उत्तर क्यों है

95% CI जनसंख्या प्राचल के लिए संभावित मानों का एक परास देता है। बड़े प्रतिदर्शों से मिलने वाले संकरे अंतराल का अर्थ है अधिक परिशुद्ध अनुमान।

उत्तर

D · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं

यह उत्तर क्यों है

IPA छोटे, समरूप प्रतिदर्शों का गहराई से अध्ययन करता है, यह जाँचते हुए कि प्रतिभागी महत्वपूर्ण अनुभवों की व्याख्या कैसे करते हैं, और शोधकर्ता उनके अर्थ-निर्माण की व्याख्या करता है।

उत्तर

C · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.1

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 247/7 = 35.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−14.29)² + 23.71² + 4.714² + 14.71² + (−22.29)² + (−7.286)² + 0.7143² = 1555

मानक विचलन

s = √(1555/6) = 16.1

उत्तर

s = 16.1
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8413

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
5.प्रायिकता

उत्तर: N = 91

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

उत्तर

N = 91
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.6974

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.911 = 0.3138
P(X = 1) = 11·0.1·0.910 = 0.3835

जोड़ें

P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974

उत्तर

P = 0.6974
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.3085

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 160 g, σT = 1.2·√4 = 2.4 g

मानकीकृत करें

z = (161.2 − 160)/2.4 = 0.5

प्रायिकता

P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085

उत्तर

P = 0.3085
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 434 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.05

सारणी से z

z ≈ −1.64

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

उत्तर

x = 434 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = −3.297 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 96 − 103 = −7

मानक त्रुटि

SE = √(15²/100 + 13²/60) = 2.251

त्रुटि सीमा

E = 1.645·2.251 = 3.703

अंतराल

−7 ± 3.703 → [−10.7, −3.297]

उत्तर

ऊपरी सीमा = −3.297 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.5·0.5/0.05² = 270.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 271

उत्तर

n = 271
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −0.9

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

परीक्षण सांख्यिकी

t = (119.1 − 120)/1 = −0.9

उत्तर

t = −0.9
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 102.1

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 2.576·5/√100 = 1.288

अंतराल सीमा

U = 100.8 + 1.288 = 102.1

उत्तर

U = 102.1
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9855

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 541/5 = 108.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1635

सहसंबंध गुणांक

r = 252/√(40·1635) = 0.9855

उत्तर

r = 0.9855
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 17.33

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 104/6 = 17.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

समाश्रयण रेखा

b = −34/17.5 = −1.943
a = 17.33 − (−1.943)·3.5 = 24.13
ŷ = 24.13 − 1.943·x

पूर्वानुमान

ŷ = 24.13 + (−1.943)·3.5 = 17.33

उत्तर

ŷ = 17.33
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 1.071

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 80·48/160 = 24, 80·112/160 = 56
महिलाएँ: 80·48/160 = 24, 80·112/160 = 56

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56 + (21 − 24)²/24 + (59 − 56)²/56
χ² = 1.071

उत्तर

χ² = 1.071

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 23.21

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

तालिका

χ²crit(df = 10, α = 0.01) = 23.209

उत्तर

χ²crit = 23.209

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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