मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

माध्य की मानक त्रुटि कब छोटी हो जाती है?

Aजब चर क्रमसूचक स्तर पर मापा जाता है
Bजब माध्य बढ़ता है
Cजब प्रतिदर्श आकार घटता है
Dजब प्रतिदर्श आकार बढ़ता है

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता एक आँकड़ा समुच्चय पर 20 विश्लेषण करता है और केवल p < 0.05 वाला एक प्रस्तुत करता है। इस प्रथा को क्या कहते हैं?

AP-hacking
Bपूर्व-पंजीकरण
Cप्रति-संतुलन
Dत्रिकोणीकरण (triangulation)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 44, 55, 28, 14, 47, 50।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 540 से अधिक है?

μ = 500σ = 40x = 540

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.3, 0.3, 0.2

σ =

6.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 10 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 5 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 10p = 0.1k = 5

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.4907 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.4907

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य −1.7 और मानक विचलन 6.3 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10d̄ = −1.7s_d = 6.390%t(9) = 1.833

निचली सीमा = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

16 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 9.2 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 15 के साथ χ² बंटन का 2.5% 6.262 से नीचे और 2.5% 27.488 से ऊपर है।

n = 16s = 9.2 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 73.17 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 73.17s = 5n = 36

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 200 बनाम H₁: μ > 200 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 25 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 12.5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 207.25 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 200μ = 207.25σ = 12.5n = 25α = 0.01

1 − β = %

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (23, 102) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(23, 102)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2202 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2803 × 2α = 0.01

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · जब प्रतिदर्श आकार बढ़ता है

यह उत्तर क्यों है

मानक त्रुटि अनुमान लगाती है कि प्रतिदर्श माध्य जनसंख्या माध्य के आसपास कितना बदलते हैं। बड़े प्रतिदर्श अधिक परिशुद्ध अनुमान देते हैं।

उत्तर

D · जब प्रतिदर्श आकार बढ़ता है

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · P-hacking

यह उत्तर क्यों है

P-hacking सार्थकता पाने के लिए विश्लेषण के लचीलेपन का लाभ उठाता है, जिससे मिथ्या धनात्मक दर 5% से बहुत ऊपर चली जाती है। पूर्व-पंजीकरण और पारदर्शी रिपोर्टिंग इसे घटाते हैं।

उत्तर

A · P-hacking

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.55

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 238/6 = 39.67

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 4.333² + 15.33² + (−11.67)² + (−25.67)² + 7.333² + 10.33² = 1209

मानक विचलन

s = √(1209/5) = 15.55

उत्तर

s = 15.55

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1587

मानकीकृत करें

z = 1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587

5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.025

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.2 = 2.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.2 = 7.3

प्रसरण

Var(X) = 7.3 − 2.5² = 1.05

σ = √1.05 = 1.025

उत्तर

σ = 1.025

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.001488

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 5) = 252·0.1⁵·0.9⁵ = 252·1 × 10⁻⁵·0.5905 = 0.001488

उत्तर

P = 0.001488

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.66

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.4907)/2 = 0.7454

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.7454 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.66

उत्तर

z = 0.66

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 256.4 g

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

वापस x पर

x = 250 + 1.282·5 = 256.41 g

उत्तर

x = 256.41 g

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −5.352 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 9, t = 1.833

त्रुटि सीमा

E = 1.833·6.3/√10 = 3.652

अंतराल

−1.7 ± 3.652 → [−5.352, 1.952]

उत्तर

निचली सीमा = −5.352 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 14.24 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 15·9.2² = 1270

σ² की सीमाएँ

1270/27.488 = 46.19

1270/6.262 = 202.7

σ की सीमा

σ = √202.7 = 14.24 µm

उत्तर

σ = 14.24 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [6.796, 14.24] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.196

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333

परीक्षण सांख्यिकी

t = (73.17 − 75)/0.8333 = −2.196

उत्तर

t = −2.196

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 71.7 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 12.5/√25 = 2.5

x̄_c = 200 + 2.326·2.5 = 205.8

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (205.8 − 207.25)/2.5 = −0.574

शक्ति

शक्ति = P(Z > −0.574) = 71.7%

1 − β = 71.7%

उत्तर

1 − β = 71.7%

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9935

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 96/5 = 19.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 454.8

सहसंबंध गुणांक

r = 134/√(40·454.8) = 0.9935

उत्तर

r = 0.9935

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −3.138

माध्य

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 529/6 = 88.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 297

समाश्रयण रेखा

b = 297/70 = 4.243

a = 88.17 − 4.243·19 = 7.552

ŷ = 7.552 + 4.243·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 7.552 + 4.243·23 = 105.1

अवशिष्ट

e = 102 − 105.1 = −3.138

उत्तर

e = −3.138

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.455

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 100·55/220 = 25, 100·77/220 = 35, 100·88/220 = 40

रात की शिफ़्ट: 120·55/220 = 30, 120·77/220 = 42, 120·88/220 = 48

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (25 − 25)²/25 + (30 − 35)²/35 + (45 − 40)²/40 + (30 − 30)²/30 + (47 − 42)²/42 + (43 − 48)²/48

χ² = 2.455

उत्तर

χ² = 2.455

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 10.17

अपेक्षित गणनाएँ

संयंत्र A: 50, 50

संयंत्र B: 50, 50

संयंत्र C: 40, 40

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (62 − 50)²/50 + (38 − 50)²/50 + (47 − 50)²/50 + (53 − 50)²/50 + (31 − 40)²/40 + (49 − 40)²/40

χ² = 10.17

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 9.210

10.17 > 9.210

उत्तर

χ² = 10.17

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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