मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

पूर्णतः सामान्य बंटन (normal distribution) में:

  1. Aमाध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं
  2. Bअधिकांश अंक पुच्छों में होते हैं
  3. Cमाध्य हमेशा माध्यिका से बड़ा होता है
  4. Dबहुलक सबसे कम अंक होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

विषयगत (थीमैटिक) विश्लेषण में विश्लेषक मुख्यतः क्या करता है?

  1. Aकिसी संख्यात्मक परिकल्पना का परीक्षण करता है
  2. Bगुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
  3. Cहर विषय का माध्य अंक निकालता है ताकि उनकी सांख्यिकीय तुलना हो सके
  4. Dकेवल शब्द-आवृत्तियाँ गिनता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
101520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 16, 26, 13, 36, 10, 16, 50।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 162.5 से अधिक है?

μ = 170σ = 15x = 162.5
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.220.330.340.2μ = 2.5

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.3, 0.3, 0.2
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 6, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k0123456

6 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.6
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.7422

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.7422 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.7422
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
235240245250255260265gनीचे 10%

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 10% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g10%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 8, sd​ = 2.70L = ?Ud̄ = 2.5E99%

8 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 2.5 और मानक विचलन 2.7 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 8d̄ = 2.5sd = 2.799%t(7) = 3.499
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.2, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0495%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.2 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.04 हो?

p ≈ 0.2E = 0.0495%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.0302.03

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 77 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 77s = 10n = 36
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.590%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो? मानक विचलन 12 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 12E = 1.590%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy18332042224924462659xy2025405060

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2414476518551061xy510405060ŷ = 58

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 58 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 58
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट188834रात की शिफ़्ट433342118कुल614150152

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “रात की शिफ़्ट, कोई दोष नहीं” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 118स्तंभ योग = 61N = 152
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

3 पंक्तियों और 5 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं

यह उत्तर क्यों है

सामान्य बंटन सममित और घंटी के आकार का होता है, इसलिए केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों माप केंद्र पर पड़ते हैं।

उत्तर

A · माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है

यह उत्तर क्यों है

विषयगत विश्लेषण में आँकड़ों से परिचय, कोडिंग, विषय बनाना, उनकी समीक्षा, नामकरण और लेखन शामिल हैं; इसका केंद्र सांख्यिकी के बजाय अर्थ है।

उत्तर

B · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.54

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 167/7 = 23.86

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−7.857)² + 2.143² + (−10.86)² + 12.14² + (−13.86)² + (−7.857)² + 26.14² = 1269

मानक विचलन

s = √(1269/6) = 14.54

उत्तर

s = 14.54
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6915

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915

उत्तर

P = 0.6915
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.025

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.2 = 2.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.2 = 7.3

प्रसरण

Var(X) = 7.3 − 2.5² = 1.05
σ = √1.05 = 1.025

उत्तर

σ = 1.025
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.04096

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.46 = 0.004096
P(X = 1) = 6·0.6·0.45 = 0.03686

जोड़ें

P = 0.004096 + 0.03686 = 0.04096

उत्तर

P = 0.04096
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −0.65

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.7422 = 0.2578

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.2578 खोजें और z पढ़ें।

z = −0.65

उत्तर

z = −0.65
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 243.6 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.1

सारणी से z

z ≈ −1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 − 1.28·5 = 243.6 g

उत्तर

x = 243.6 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −0.8401 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 7, t = 3.499

त्रुटि सीमा

E = 3.499·2.7/√8 = 3.34

अंतराल

2.5 ± 3.34 → [−0.8401, 5.84]

उत्तर

निचली सीमा = −0.8401 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.2·0.8/0.04² = 384.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 385

उत्तर

n = 385
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

परीक्षण सांख्यिकी

t = (77 − 75)/1.667 = 1.2

उत्तर

t = 1.2
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| < 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 174

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.645·12/1.5)² = 173.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 174

उत्तर

n = 174
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8644

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 229/5 = 45.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Syy = Σ(y − ȳ)² = 362.8

निर्धारण गुणांक

r² = 112²/(40·362.8) = 0.8644

उत्तर

r² = 0.8644

y के विचरण का लगभग 86.44% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 8.917

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 255/5 = 51

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

समाश्रयण रेखा

b = 96/40 = 2.4
a = 51 − 2.4·6 = 36.6
ŷ = 36.6 + 2.4·x

x के लिए हल करें

x = (58 − 36.6)/2.4 = 8.917

उत्तर

x = 8.917
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 47.36

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 118·61/152 = 47.36

उत्तर

E = 47.36
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 15.51

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

तालिका

χ²crit(df = 8, α = 0.05) = 15.507

उत्तर

χ²crit = 15.507

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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