मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अर्ध-विभाजन विश्वसनीयता (split-half reliability) में क्या शामिल है?

  1. Aआधे-आधे सत्रों के लिए दो पर्यवेक्षकों का उपयोग
  2. Bप्रतिदर्श को प्रायोगिक और नियंत्रण समूह में बाँटना और उनके अंकों की तुलना करना
  3. Cप्रतिदर्श के दो हिस्सों का अलग-अलग समय पर परीक्षण
  4. Dआंतरिक संगति जाँचने के लिए एक ही परीक्षण के दो हिस्सों के अंकों की तुलना
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक स्व-रिपोर्ट स्केल पाता है कि कई कथनों से सहमत होने वाले लोग विषयवस्तु की परवाह किए बिना ऊँचे अंक लाते हैं। यह कौन-सा उत्तर पक्षपात है, और इसे कैसे घटाया जा सकता है?

  1. Aमाँग विशेषताएँ; द्वि-अंध डिज़ाइन का उपयोग करें
  2. Bसामाजिक वांछनीयता पक्षपात; बड़े प्रतिदर्श का उपयोग करें
  3. Cसहमति पक्षपात (acquiescence bias); उल्टे शब्दों वाले मद शामिल करें
  4. Dक्रम प्रभाव; प्रतिभागियों का प्रति-संतुलन करें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 59, 54, 59, 15, 21, 37।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 35.6 से कम है?

μ = 50σ = 12x = 35.6
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.320.0530.340.350.05μ = 2.75

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.05, 0.3, 0.3, 0.05
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 5, p = 0.7: P(X = 2) = ?k012345

एक परीक्षा में 5 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 2 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.7k = 2
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
200 mm199.6 mmX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 120 mm और मानक विचलन 0.3 mm है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 80 mm और मानक विचलन 0.4 mm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 199.6 mm से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.6 mm
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 178x = ?10%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 10% आते हैं (10वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 16, s = 12LU = ?x̄ = 119.5E99%

16 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 119.5 और मानक विचलन s = 12 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 16x̄ = 119.5s = 1299%t(15) = 2.947
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

समष्टि मानक विचलन 10 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 10E = 399%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.0932.093t = ?df = 19

20 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −2.76 और अंतरों का मानक विचलन 9.5 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 20d̄ = −2.76sd = 9.5
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ > 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 25 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 10 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 83 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 83σ = 10n = 25α = 0.10
β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2741362382810321237xy51010203040

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy188820102221052411026131xy2025100120ŷ = 103

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 103 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 103
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष4357100महिलाएँ2773100कुल70130200

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 7 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · आंतरिक संगति जाँचने के लिए एक ही परीक्षण के दो हिस्सों के अंकों की तुलना

यह उत्तर क्यों है

यदि दोनों हिस्से एक ही संरचना (construct) को मापते हैं, तो उनके अंकों का उच्च सहसंबंध होना चाहिए। क्रॉनबाख़ अल्फ़ा इस विचार को सभी संभव विभाजनों तक बढ़ाता है।

उत्तर

D · आंतरिक संगति जाँचने के लिए एक ही परीक्षण के दो हिस्सों के अंकों की तुलना
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · सहमति पक्षपात (acquiescence bias); उल्टे शब्दों वाले मद शामिल करें

यह उत्तर क्यों है

सहमति पक्षपात मदों से सहमत होने की प्रवृत्ति है। धनात्मक और ऋणात्मक शब्दों वाले मदों को मिलाने से हर चीज़ से सहमत होने पर अब चरम अंक नहीं बनता।

उत्तर

C · सहमति पक्षपात (acquiescence bias); उल्टे शब्दों वाले मद शामिल करें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.94

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 291/7 = 41.57

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 4.429² + 17.43² + 12.43² + 17.43² + (−26.57)² + (−20.57)² + (−4.571)² = 1932

मानक विचलन

s = √(1932/6) = 17.94

उत्तर

s = 17.94
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1151

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151

उत्तर

P = 0.1151
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.299

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.3 + 5·0.05 = 2.75

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.3 + 25·0.05 = 9.25

प्रसरण

Var(X) = 9.25 − 2.75² = 1.688
σ = √1.688 = 1.299

उत्तर

σ = 1.299
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1323

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 2) = 10·0.72·0.33 = 10·0.49·0.027 = 0.1323

उत्तर

P = 0.1323
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

मानकीकृत करें

z = (199.6 − 200)/0.5 = −0.8

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 169 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

वापस x पर

x = 178 + −1.282·7 = 169.03 cm

उत्तर

x = 169.03 cm
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 128.3

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 15, t = 2.947

त्रुटि सीमा

E = 2.947·12/√16 = 8.841

अंतराल

119.5 ± 8.841 → [110.7, 128.3]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 128.3
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 74

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·10/3)² = 73.73

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 74

उत्तर

n = 74
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.299

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 9.5/√20 = 2.124

परीक्षण सांख्यिकी

t = −2.76/2.124 = −1.299

उत्तर

t = −1.299

df = 19 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.093 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 41.37 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 + 1.282·2 = 82.56

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (82.56 − 83)/2 = −0.218

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z > −0.218) = 58.63%
β = 100% − 58.63% = 41.37%

उत्तर

β = 41.37%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9883

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 140/6 = 23.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
Syy = Σ(y − ȳ)² = 657.3

सहसंबंध गुणांक

r = 212/√(70·657.3) = 0.9883

उत्तर

r = 0.9883
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 21.11

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 536/5 = 107.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

समाश्रयण रेखा

b = 188/40 = 4.7
a = 107.2 − 4.7·22 = 3.8
ŷ = 3.8 + 4.7·x

x के लिए हल करें

x = (103 − 3.8)/4.7 = 21.11

उत्तर

x = 21.11
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 5.626

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65
महिलाएँ: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (43 − 35)²/35 + (57 − 65)²/65 + (27 − 35)²/35 + (73 − 65)²/65
χ² = 5.626

उत्तर

χ² = 5.626

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 11.07

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 7 − 1 − 1 = 5

तालिका

χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

उत्तर

χ²crit = 11.070

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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