मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक अनुप्रस्थ अध्ययन एक ही समय पर 20, 40 और 60 वर्ष के लोगों की प्रौद्योगिकी उपयोग पर तुलना करता है। कौन-सी समस्या आयु तुलना को भ्रमित कर सकती है?

  1. Aतल प्रभाव (floor effects)
  2. Bसमूह-पीढ़ी प्रभाव (cohort effects)
  3. Cक्रम प्रभाव
  4. Dअभ्यास प्रभाव
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

आँकड़ों का विश्लेषण करने के बाद एक शोधकर्ता भूमिका ऐसे लिखता है मानो एक अप्रत्याशित निष्कर्ष की भविष्यवाणी शुरू से की गई थी। इसे क्या कहते हैं?

  1. Aसंक्रियाकरण
  2. Bप्रति-संतुलन
  3. Cडीब्रीफ़िंग
  4. DHARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 54, 12, 31, 26, 34, 43।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 160 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 20x = 160
z =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.220.140.3560.35μ = 3.7

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.1, 0.35, 0.35
σ =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)10.120.330.240.350.1μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X − 3। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.3, 0.2, 0.3, 0.1Y = 3X − 3
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.9871

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.9871 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9871
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.04 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 13, s = 18.5L = ?Ux̄ = 32.5E95%

13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 32.5 और मानक विचलन s = 18.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 13x̄ = 32.5s = 18.595%t(12) = 2.179
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 6, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

समष्टि मानक विचलन 6 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?

σ = 6E = 299%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.961.96z = ?

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 76.5 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 17 mm है। लाइन 2: 60 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 74.8 mm, ज्ञात मानक विचलन 8 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 80x̄₁ = 76.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 60x̄₂ = 74.8 mmσ₂ = 8 mm
z =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो? मानक विचलन 20 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 20E = 190%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2841261882010271232xy510102030

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 42Σy = 117Σx² = 364Σy² = 2685Σxy = 986
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy244106148181020xy5105101520x = 9

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (9, 15) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(9, 15)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
निम्नमध्यमउच्चकुलशहरी412740108ग्रामीण9253973कुल505279181

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “ग्रामीण, निम्न” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 73स्तंभ योग = 50N = 181
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

3 पंक्तियों और 3 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

3 × 3
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · समूह-पीढ़ी प्रभाव (cohort effects)

यह उत्तर क्यों है

अलग-अलग आयु समूह अलग-अलग ऐतिहासिक परिस्थितियों में पले, इसलिए अंतर स्वयं बढ़ती उम्र के बजाय पीढ़ी (cohort) को दर्शा सकते हैं।

उत्तर

B · समूह-पीढ़ी प्रभाव (cohort effects)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)

यह उत्तर क्यों है

HARKing अन्वेषणात्मक परिणामों को पुष्टिकारी के रूप में प्रस्तुत करता है, जिससे निष्कर्ष वास्तविकता से अधिक मज़बूत दिखते हैं। यह पुनरुत्पादन संकट (replication crisis) में योगदान देता है।

उत्तर

D · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 13.98

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 246/7 = 35.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 10.86² + 18.86² + (−23.14)² + (−4.143)² + (−9.143)² + (−1.143)² + 7.857² = 1173

मानक विचलन

s = √(1173/6) = 13.98

उत्तर

s = 13.98
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.5

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (160 − 170)/20 = −0.5

उत्तर

z = −0.5
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 2.216

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.2 + 2·0.1 + 4·0.35 + 6·0.35 = 3.7

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.1 + 16·0.35 + 36·0.35 = 18.6

प्रसरण

Var(X) = 18.6 − 3.7² = 4.91
σ = √4.91 = 2.216

उत्तर

σ = 2.216
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 3.55

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 3, Var(X) = 1.4, σX = 1.183

रैखिक परिवर्तन

σY = |3|·1.183 = 3.55

उत्तर

σY = 3.55

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·3 − 3 = 6।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −2.23

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.9871 = 0.0129

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.0129 खोजें और z पढ़ें।

z = −2.23

उत्तर

z = −2.23
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9868

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

उत्तर

P = 0.9868
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 21.32

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 12, t = 2.179

त्रुटि सीमा

E = 2.179·18.5/√13 = 11.18

अंतराल

32.5 ± 11.18 → [21.32, 43.68]

उत्तर

निचली सीमा = 21.32
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 60

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·6/2)² = 59.72

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 60

उत्तर

n = 60
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 0.7859

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(17²/80 + 8²/60) = √4.679 = 2.163

परीक्षण सांख्यिकी

z = (76.5 − 74.8)/2.163 = 0.7859

उत्तर

z = 0.7859

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1083

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.645·20/1)² = 1082

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1083

उत्तर

n = 1083
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9937

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 986 − 42·117/6 = 167
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2685 − 117²/6 = 403.5

सहसंबंध गुणांक

r = 167/√(70·403.5) = 0.9937

उत्तर

r = 0.9937
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −4.2

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 66/5 = 13.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

समाश्रयण रेखा

b = 80/40 = 2
a = 13.2 − 2·6 = 1.2
ŷ = 1.2 + 2·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 1.2 + 2·9 = 19.2

अवशिष्ट

e = 15 − 19.2 = −4.2

उत्तर

e = −4.2

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 20.17

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 73·50/181 = 20.17

उत्तर

E = 20.17
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 4

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

उत्तर

df = 4

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