मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

क्षेत्र प्रयोग (field experiment) में शोधकर्ता:

  1. Aप्रयोगशाला में IV में हेरफेर करता है
  2. Bवास्तविक-जीवन परिस्थिति में IV में हेरफेर करता है
  3. Cबिना कुछ हेरफेर किए केवल अवलोकन करता है
  4. Dदूसरों द्वारा एकत्र आँकड़ों का विश्लेषण करता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

विषयगत (थीमैटिक) विश्लेषण में विश्लेषक मुख्यतः क्या करता है?

  1. Aकिसी संख्यात्मक परिकल्पना का परीक्षण करता है
  2. Bहर विषय का माध्य अंक निकालता है ताकि उनकी सांख्यिकीय तुलना हो सके
  3. Cकेवल शब्द-आवृत्तियाँ गिनता है
  4. Dगुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
202530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 40, 42, 53, 60, 20, 34।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 210 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 20x = 210
z =
5.प्रायिकतामध्यम
n = 7k = 3N = ?

7 लोगों के समूह से 3 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 7k = 3
N =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−30.790.25570.05

एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.25 से €12 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €60; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €3€12: p = 0.25€60: p = 0.05
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
750 g757.9 gX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 250 g और मानक विचलन 4 g है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 500 g और मानक विचलन 9 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 757.9 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 757.9 g
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
235240245250255260265gऊपर 60%

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 60% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 40 फ़ोन, माध्य 90 h, ज्ञात मानक विचलन 9 h। मॉडल 2: 30 फ़ोन, माध्य 78 h, ज्ञात मानक विचलन 15 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 40x̄₁ = 90 hσ₁ = 9 hn₂ = 30x̄₂ = 78 hσ₂ = 15 h90%
ऊपरी सीमा = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.3, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02590%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.3 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.025 हो?

p ≈ 0.3E = 0.02590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.13102.131

16 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 112 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 112s = 20n = 16
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.01βσ = 14, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 2.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 14 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 90%δ = 2.5σ = 14zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy1243295347369371146xy5103040

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy349563772977118813102xy5106080100x = 6

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (6, 62) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(6, 62)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
खाँसीखाँसी नहींकुलधूम्रपान करने वाले221840धूम्रपान न करने वाले6931100कुल9149140

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1402 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुलसंयंत्र A491160संयंत्र B231740संयंत्र C72880कुल14436180dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · वास्तविक-जीवन परिस्थिति में IV में हेरफेर करता है

यह उत्तर क्यों है

क्षेत्र प्रयोग, जैसे सड़क पर मंचित सहायता स्थितियाँ, पारिस्थितिक वैधता बढ़ाते हैं पर बाह्य चरों पर कम नियंत्रण देते हैं और सहमति के प्रश्न उठाते हैं।

उत्तर

B · वास्तविक-जीवन परिस्थिति में IV में हेरफेर करता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है

यह उत्तर क्यों है

विषयगत विश्लेषण में आँकड़ों से परिचय, कोडिंग, विषय बनाना, उनकी समीक्षा, नामकरण और लेखन शामिल हैं; इसका केंद्र सांख्यिकी के बजाय अर्थ है।

उत्तर

D · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.11

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 249/6 = 41.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.5)² + 0.5² + 11.5² + 18.5² + (−21.5)² + (−7.5)² = 995.5

मानक विचलन

s = √(995.5/5) = 14.11

उत्तर

s = 14.11
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (210 − 170)/20 = 2

उत्तर

z = 2
5.प्रायिकता

उत्तर: N = 35

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

उत्तर

N = 35
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 3 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 9 (p = 0.25), 57 (p = 0.05), −3 (p = 0.7)

प्रत्याशित मान

E(G) = 9·0.25 + 57·0.05 − 3·0.7 = 3 €

उत्तर

E(G) = 3 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.2119

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

मानकीकृत करें

z = (757.9 − 750)/9.849 = 0.8

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

उत्तर

P = 0.2119
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 248.8 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.4

सारणी से z

z ≈ −0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g

उत्तर

x = 248.8 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 17.08 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 90 − 78 = 12

मानक त्रुटि

SE = √(9²/40 + 15²/30) = 3.086

त्रुटि सीमा

E = 1.645·3.086 = 5.077

अंतराल

12 ± 5.077 → [6.923, 17.08]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 17.08 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 910

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.3·0.7/0.025² = 909.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 910

उत्तर

n = 910
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.4

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (112 − 100)/5 = 2.4

उत्तर

t = 2.4
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| > 2.131, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 409

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.282)·14/2.5)² = 408.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 409

उत्तर

n = 409
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9691

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 206/6 = 34.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136
Syy = Σ(y − ȳ)² = 281.3

सहसंबंध गुणांक

r = 136/√(70·281.3) = 0.9691

उत्तर

r = 0.9691
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −3.31

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 451/6 = 75.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 345

समाश्रयण रेखा

b = 345/70 = 4.929
a = 75.17 − 4.929·8 = 35.74
ŷ = 35.74 + 4.929·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 35.74 + 4.929·6 = 65.31

अवशिष्ट

e = 62 − 65.31 = −3.31

उत्तर

e = −3.31

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.462

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 40·91/140 = 26, 40·49/140 = 14
धूम्रपान न करने वाले: 100·91/140 = 65, 100·49/140 = 35

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (22 − 26)²/26 + (18 − 14)²/14 + (69 − 65)²/65 + (31 − 35)²/35
χ² = 2.462

उत्तर

χ² = 2.462

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 17.76

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

संयंत्र A: 48, 12
संयंत्र B: 32, 8
संयंत्र C: 64, 16

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (49 − 48)²/48 + (11 − 12)²/12 + (23 − 32)²/32 + (17 − 8)²/8 + (72 − 64)²/64 + (8 − 16)²/16
χ² = 17.76

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
17.76 > 5.991

उत्तर

χ² = 17.76

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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