वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
पुनरावृत्त माप डिज़ाइन में क्रम प्रभावों को किससे नियंत्रित किया जा सकता है?
- Aप्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
- Bकेवल बड़ा प्रतिदर्श
- Cयादृच्छिक प्रतिचयन
- Dएकल-अंध प्रक्रिया
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
एक शोधकर्ता दिखाना चाहता है कि नया चिंता स्केल अवसाद से भिन्न कुछ मापता है। अवसाद स्केल के साथ कम सहसंबंध किसका समर्थन करेंगे?
- Aअभिसारी वैधता (convergent validity)
- Bभविष्यसूचक वैधता
- Cविभेदक वैधता (discriminant validity)
- Dआभासी वैधता
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 56, 47, 42, 19, 35, 26।
n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 70 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 66 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 70σ = 5x = 66
z =
5.प्रायिकतामध्यम
एक निष्पक्ष पासा 6 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?
n = 6
P =
6.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 5। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.35, 0.1, 0.25, 0.25Y = 3X + 5
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.2177 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.2177
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।
μ = 65σ = 10P = 75%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
16 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 10.5 और मानक विचलन s = 13.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 16x̄ = 10.5s = 13.595%t(15) = 2.131
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 18 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?
σ = 18E = 2.590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 80 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 2.5 ज्ञात है। 25 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 79.17 है। H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ < 80 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 80σ = 2.5n = 25x̄ = 79.17H₁: μ < μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 120 में से 36 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 250 में से 108 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 108n₂ = 250
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (5.5, 39) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 5(5.5, 39)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “दिन की शिफ़्ट, मामूली” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।
पंक्ति योग = 70स्तंभ योग = 32N = 116
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।
N = 1603 × 2α = 0.05
χ² =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: A · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
यह उत्तर क्यों है
प्रति-संतुलन अभ्यास और थकान के प्रभावों को स्थितियों में समान रूप से बाँट देता है।
उत्तर
A · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: C · विभेदक वैधता (discriminant validity)
यह उत्तर क्यों है
विभेदक (अपसारी) वैधता तब दिखती है जब कोई माप भिन्न संरचनाओं के मापों के साथ कमज़ोर सहसंबंध रखता है। अभिसारी वैधता उसी संरचना के मापों के साथ उच्च सहसंबंध है।
उत्तर
C · विभेदक वैधता (discriminant validity)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 13.66
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 225/6 = 37.5
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 18.5² + 9.5² + 4.5² + (−18.5)² + (−2.5)² + (−11.5)² = 933.5
मानक विचलन
s = √(933.5/5) = 13.66
उत्तर
s = 13.66
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = −0.8
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (66 − 70)/5 = −0.8
उत्तर
z = −0.8
5.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.6651
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
पूरक
P(छक्का नहीं) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
उत्तर
P = 0.6651
6.प्रायिकता
उत्तर: σY = 3.923
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 3.3, Var(X) = 1.71, σX = 1.308
रैखिक परिवर्तन
σY = |3|·1.308 = 3.923
उत्तर
σY = 3.923
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·3.3 + 5 = 14.9।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 0.78
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.2177 = 0.7823
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.7823 खोजें और z पढ़ें।
z = 0.78
उत्तर
z = 0.78
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 71.75 अंक
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
वापस x पर
x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 अंक
उत्तर
x = 71.75 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = 3.308
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 15, t = 2.131
त्रुटि सीमा
E = 2.131·13.5/√16 = 7.192
अंतराल
10.5 ± 7.192 → [3.308, 17.69]
उत्तर
निचली सीमा = 3.308
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 141
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.645·18/2.5)² = 140.3
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 141
उत्तर
n = 141
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.04846
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 2.5/√25 = 0.5
z = (79.17 − 80)/0.5 = −1.66
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(1.66) = 0.9515
1 − Φ(1.66) = 0.0485
p-मान
p = 0.04846
उत्तर
p = 0.04846
p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = −2.438
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 36/120 = 0.3
p̂₂ = 108/250 = 0.432
p̂ = 144/370 = 0.3892
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.3892·0.6108·(1/120 + 1/250)) = 0.05415
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.3 − 0.432)/0.05415 = −2.438
उत्तर
z = −2.438
|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9388
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 367/6 = 61.17
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 183
Syy = Σ(y − ȳ)² = 542.8
सहसंबंध गुणांक
r = 183/√(70·542.8) = 0.9388
उत्तर
r = 0.9388
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = −3.9
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 189/5 = 37.8
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34
समाश्रयण रेखा
b = 34/10 = 3.4
a = 37.8 − 3.4·4 = 24.2
ŷ = 24.2 + 3.4·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 24.2 + 3.4·5.5 = 42.9
अवशिष्ट
e = 39 − 42.9 = −3.9
उत्तर
e = −3.9
बिंदु रेखा के नीचे है।
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: E = 19.31
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणना
E = 70·32/116 = 19.31
उत्तर
E = 19.31
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 11.11
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
आयु 18–30: 24, 36
आयु 31–50: 24, 36
आयु 51+: 16, 24
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (32 − 24)²/24 + (28 − 36)²/36 + (24 − 24)²/24 + (36 − 36)²/36 + (8 − 16)²/16 + (32 − 24)²/24
χ² = 11.11
निर्णय
df = 2, χ²crit = 5.991
11.11 > 5.991
उत्तर
χ² = 11.11
χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।
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